フーリエスペクトルの振幅について
ある時間関数を離散フーリエ変換して得られるフーリエスペクトルの
振幅値について教えて下さい。
今想定している離散フーリエ変換の式は一般的なもので
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)
を考えています。
また、離散フーリエ変換して得られるスペクトルは
√（Re^2+Im^2)
で計算します。
離散フーリエ変換を適用する関数を、
振幅1の直流、及び振幅1で周波数5[Hz]の正弦波とします。
（この2つの信号は別々の信号で合成されていません。）
サンプリング周波数を20[Hz]とした場合、
サンプリングして得られるデータ列はそれぞれ、
直流： 「1, 1, 1, 1」
正弦波： 「0, 1, 0, -1」
となると想定されます。
（正弦波をサンプリングする場合は位相が関わってきますが、
今回は気にしないで下さい。）
このデータ列に対して上記の離散フーリエ変換を適用した場合、
得られるフーリエスペクトルの振幅値はそれぞれ、
直流： 「4」（直流のフーリエスペクトルの振幅値値）
正弦波： 「2」（5[Hz]のフーリエスペクトルの振幅値）
となります。
（データ点数は上の通り4点）
ここで質問なのですが、
離散フーリエ変換して得られるスペクトルの振幅値から
元の関数の振幅値を求める場合、
フーリエスペクトルをサンプリングの総データ点数で割ることは
数学的に納得できます。
しかしこの例の場合、フーリエスペクトルを総データ点数で割ると、
直流： 「4 -> 1」
正弦波： 「2 -> 0.5」
となってしまい、直流は正しいのですが、
正弦波の元の振幅値を正確に求めることは出来ません。
フーリエスペクトルの振幅値から正弦波の振幅値を正しく求めるには、
「フーリエスペクトルの振幅値*2/データ点数」
としてやらなければいけません。
上記のことに関して、
なぜこのようになるのかを（2をかける理由を）教えて頂けないでしょうか。
