数学Iの三角比の問題

質問

数学Iの三角比の問題
次の四角形の面積を求めよ。
凸四角形で、対角線AC=8、BD=12で、それらのなす角が45度

この問題が分かりません。
模範解答では、対角線に平行な線を引いて、外側に平行四辺形を作ってから面積を求めていますが、意味が分かりません。

ほかに分かりやすい回答がありましたら教えてください。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

>模範解答では、対角線に平行な線を引いて、外側に平行四辺形を作ってから面積を求めていますが、意味が分かりません。

まあこの解法は思いつきにくそうですししっくりこない人には意味がわからないものだと思います。
この解法の意味を知るには「等積変形ってなんだっけ？」を考えるとよさそうです。

>分かりやすい解答
とのことですので「めんどくさいけどわかりやすい解答」を目指してみたいと思います。

ACとBDの交点をOとすると、
四角形ABCDの面積Sは
S=△OAB+△OBC+△OCD+△ODA
となります。
三角比を用いた三角形の面積の公式
(△ABC=AB*AC*(sin∠BAC)/2)
はご存じですか？
OA=x,OB=yとするとOC=8-x,OD=12-yです。
また、対角線のなす角が45°だそうなので、∠BOA=45°ということにして、これをαとします。
すると、∠BOA=∠COD=α(対頂角)、∠BOC=∠DOA=180°-αとなります。
これを使うと、
△OAB=x*y*(sinα)/2
△OBC=(8-x)*y*(sin(180°-α))/2
△OCD=(8-x)*(12-y)*(sinα)/2
△ODA=x*(12-y)*(sin(180°-α))/2
となります。
後はこれを一生懸命足していき、sin(180°-α)=sinαであることなんかも利用すると
x,yがきれいに消え、結局8*12*(sin45°)/2だけが残ると思います。

分かりやすかったですかね？
参考になれば幸いです。

お礼

皆さま回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.6

info22_

#2です。

A#2で1/2倍するのを忘れました。
>AC*BD*(√2)/2=8*12*(√2)/2=48√2

なので(1/2)倍して正しい答えは
(1/2)*AC*BD*((√2)/2)=(1/2)*8*12*((√2)/2)=(1/2)*48√2=24√2
となります。

もし三角関数を習っているなら(√2)/2はsin45°と同じです。

なお、大きい平行四辺形は、合同な三角形に分ければ、2つずつありますので、4つの三角形からなる四辺形ABCDの面積は大きい平行四辺形の面積の半分になります。
他の方が言われている通りです。

回答No.5

gohtraw

対角線の交点をＯとし、Ａ、およびＣからＢＤに垂線を下ろしてその足をそれぞれＥ、Ｆとします。
ＡＥ、およびＣＦの長さはそれぞれＯＡ＊ｓｉｎ４５°、ＯＣ＊ｓｉｎ４５°です。また、三角形ＡＢＤ、ＣＤＢの面積はそれぞれ
ＢＤ＊ＡＥ／２＝ＢＤ＊ＯＡ＊ｓｉｎ４５°／２
ＢＤ＊ＣＦ／２＝ＢＤ＊ＯＣ＊ｓｉｎ４５°／２
なので四角形ＡＢＣＤの面積は
ＢＤ＊ｓｉｎ４５°＊（ＯＡ＋ＯＣ）／２＝ＢＤ＊ｓｉｎ４５°＊ＡＣ／２
となります。

回答No.4

spring135

＞対角線に平行な線を引いて、外側に平行四辺形を作ってから面積を求めていますが

この絵をしっかり眺めてください。この平行四辺形が元の凸四角形ABCDの２倍になっていることが確認できますか。

平行四辺形の面積は
三角形の２倍で
（1/2）・8・12sin(45°)*2=48√2

従って凸四角形ABCDの面積=24√2

回答No.3

info22_

面積＝AC*BD*(1/√2)=8*12*(√2/2)=48√2

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

平行四辺形を作ってもいいですが、三角形に変形する方法もあります。
いずれにしても中学数学でよく使った「等積変形」を使います。

参考となる図を添付しておきます。
あとは、三角形の高さを角度も用いて考えれば、計算できますね。