「y=x+1/x (x＞0)の域値を求めよ」という問題です。

質問

「y=x+1/x (x＞0)の域値を求めよ」という問題です。
これに対して、x＞0より1/x＞0であるから、相加平均相乗平均の関係より、
x+1/x≧2√(x・1/x)=2であるから、y=x+1/x≧2
よって、y≧2
としました。しかし、解答は正しいが、不十分であると言われました。
どこが不十分かわかりません。
どなたかアドバイスの程宜しくお願い致します。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞どこが不十分かわかりません。

等号が成立する時は、必ず等号が成立する時のxの値を書かなければならない。
その点が不十分。つまり、等号はx＝1/xの時、従ってx＝1の時、と書いておく事。

これは判別式でも片がつく。
分母を払うと、x＾2-yx＋1＝0‥‥(1)　xは実数から判別式≧0.
また、x＞0であるから、2解の積＞0　から　2解の和＞0　よって、y≧2.
この時、(1)からx＝1。

グラフを書くと解るが、最大値は存在しない。

お礼

mister_moonlight様アドバイスありがとうございます。x=1の時にy=2は当然であると思い込み過ぎていて全く気づきませんでした。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

等号が成立するxを書いておかないと、「≧2」が成立するだけで「y＞2」かも知れない。
なのでx=1でy=2となって等号が成立するxが存在することを示しておく必要があります。

>x+1/x≧2√(x・1/x)=2であるから、y=x+1/x≧2
x+1/x≧2√(x・1/x)=2(等号はx=1/x(>0)つまりx=1の時成立)であるから、y=x+1/x≧2（x=1の時等号が成立）

とすべきでしょうね。

お礼

info22_様アドバイスありがとうございます。x=1の時にy=2は当然であると思い込み過ぎていて全く気づきませんでした。ありがとうございました。

回答No.1

OKXavier

y≧2　を示せたが、不等式の場合には、
y=2　を満たすxが確かに存在することを述べなく
ては不十分です。

もし、これを示さないならば、y≧2≧1　ですから
y≧1　でもいいということになってしまいます。

>「y=x+1/x (x＞0)の域値を求めよ」という問題です。
なので、yの限界ぎりぎりを示さなければいけません。

お礼

OKXavier様アドバイスありがとうございます。x=1の時にy=2は当然であると思い込み過ぎていて全く気づきませんでした。ありがとうございました。