相対累積度数について

質問

相対累積度数について

ボルトの長さを測定したところ、次のような相対累積度数になりました。

長さ……x[mm]とその時の相対累積度数を示します。
３０……０．０２
３１……０．０２
３２……０．０６
３３……０．１２
３４……０．２３
３５……０．３７
３６……０．５３
３７……０．６８
３８……０．７６
３９……０．８６
４０……０．９４
４１……０．９６
４２……０．９９
４３……０．９９
４４……１

大学の講義で先生にグラフ用紙にだいたいでいいので正規確率グラフを書いてレポートにするように言われました。
また、教科書の問題で、正規確率グラフを使って、ボルトの長さの平均値および標準偏差σを推定せよという問題があります。
教科書には、相対累積度数が０．５のところが平均値と書いています。
また、約０．８４のところが平均値＋標準偏差に対応するらしいです。

教科書の答えは、長さの平均値が３６．５mmで標準偏差が２．８mmです。

でも、相対累積度数が０．５のところは、３５mmと３６mmの間にあり少しおかしいと思います。
また、標準偏差も、３mmとなりだいたい近い値にはなりますがちゃんとした値になりません。
自分の作成したグラフで、それぞれの点を直線で結んでいるので標準偏差に関しては教科書の言う通りかもしれと思うんですが、相対累積度数についてはなんで３６．５mmになるのか分りません。
平均値の出し方も標準偏差の出し方も公式は知っていますので一応出し方は分り、３６．５mmと２．８mmになることは分りますが、でも正規確率グラフを見ると少し値がずれてきます。
先生には、完璧な直線にならなければ確率密度関数からずれているということなんですよ、みたいなことは言われはしました。
確かに、グラフは少し直線っぽいけどガタついたグラフになりました。
やっぱり、直線にならなければ、正確な平均値や標準偏差などは出せないんでしょうか？
最小二乗法などで出すんでしょうか？
しかし、この講義で最小二乗法は後に習うことになっています。
だから、最小二乗法については知らないことが前提です。

長々とすいません。もう１つ質問があります。
なんで、相対累積度数が約０．８４(つまりz=1)のところが平均値+標準偏差になるんでしょうか？
約０．１６(つまりz=-1)のところも平均値-標準偏差になるそうなんですが。
どうしてなんでしょうか？納得できるように式などを使っての解説をお願いします。

分りやすい解説をお願いします。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

>教科書には、相対累積度数が０．５のところが平均値と書いています。また、約０．８４のところが平均値＋標準偏差に対応するらしいです。

これは正規分布の場合です。正規分布については↓のサイトの最初の図をみてください。
http://www.weblio.jp/content/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

>完璧な直線にならなければ確率密度関数からずれているということなんですよ

データが正規分布からずれているのです。

>やっぱり、直線にならなければ、正確な平均値や標準偏差などは出せないんでしょうか？

教科書で答えとされており、質問者さんが確認した平均値（36.5mm）と標準偏差（2.8mm）は実際のデータから求められた値です。これに対して、相対累積度数から求められる値は、データが正規分布をしているという仮定に基づく推定値です。両者がぴったり一致しなくても、問題はないと思います。

>なんで、相対累積度数が約０．８４(つまりz=1)のところが平均値+標準偏差になるんでしょうか？約０．１６(つまりz=-1)のところも平均値-標準偏差になるそうなんですが。

上で引用した図を見てください。
x <= m - σ の部分に 15.87% が含まれ、
x <= m + σ の部分に 84.13% が含まれています。

なお、累積分布関数のグラフも↑のサイトに載っています。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#157574

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