江戸時代の和算の問題です。現代風に書きますと…

質問

江戸時代の和算の問題です。現代風に書きますと…
三角形ABCがある。三つの辺AB、BC、CAはいずれも整数であり、
AB=BC-1、BC=CA-1、かつ三角形ABCの面積は整数である。
このような三角形の例を挙げよ。(問題終わり）

面積が0でなく題意を満たす最も小さい三角形は 3辺がそれぞれ3,4,5で
面積が6の直角三角形であることは容易にわかりますが、
一般解あるいは漸化式を求めるにはどうしたらよいか教えてください。(問題の補足終わり）

【私の考え】 BC=a （aは3以上の整数）とおくと、AB=a-1,CA=a+1 だから
三角形ABCの面積をSとすると,ヘロンの公式により(途中の計算は省きます）
S＝（a√3(a^2-4))/4

ここで aが奇数であれば根号の中が奇数となるので平方に開けたとしても奇数となり、
Sは（奇数×奇数）/4となって整数にならない
a が偶数ならば根号の中も偶数となるので平方に開けたとすれば偶数となり
Sは（偶数×偶数）/4となって整数となる
したがって、三角形ABCが題意を満たすのは上式の根号の中
つまり3(a^2-4)が平方数となる偶数aが存在する場合である…（１）
このあとがわかりません。

なお（１）についてパソコンで計算したところ題意を満たす aは
a=4,14,52,194,724,2702,10084…と続きます。
３辺の長さがそれぞれ10083、10084、10085の三角形の面積は
44031786で確かに整数です。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

お考えの通り、aは偶数となりますので　ａ＝２ｎ（ｎ：整数)と置けば、
　　S＝n√{3(n^2-1)}
が得られます。
　ここでＳが整数となるためには根号が開けなければなりませんので次のようにおけます。
　　n^2-1=3m^2
　∴n^2-3m^2=1　　・・・・☆

　ここで式☆はペル方程式になり、最小の解が　n=2, m=1　であることはすぐに分かりますので k番目の解は次のように表されます。
　　n(k)+m(k)√3=(2+√3)^k　　（ｋ：整数）　・・・・※

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

　あとはこの式からn(k)を求めて、a=2n(k)で戻してやれば一般解が得られます。
　n(k)を数値ではなく式で求めたい場合は、式※の右辺を2項定理で展開して整理すれば求められます。

お礼

詳しいご回答ありがとうございます。なるほどペル方程式(フェルマー・ペルの方程式）に帰着するわけですね。この和算の問題は一見単純で問題の意味もわかり易いのですが、様々なことを考えさせてくれて興味深いと思います。

回答No.1

nag0720

a=4,14,52,194,724,2702,10084…と続きます。

a=2のときは三角形を構成しませんが、S=0となります。
a[0]=2
a[1]=4
a[2]=14
a[3]=52
a[4]=194
a[5]=724
a[6]=2702
a[7]=10084
とすれば、
a[n]=4*a[n-1]-a[n-2]
の関係が成り立っています。

これからa[n]の一般解を求めて、Sが整数となることの証明ができませんか。

お礼

ご回答ありがとうございます。私がこの問題を知った書物によれば、(解法そのものは書かれていませんでしたが）和算の解法はこの方向で、a=2,4,14,52,194の例をあげて、その漸化式を与えて帰納的に求めているそうです。