10^210/(10^10+3)の整数部分の桁数と一桁目の数を求めよ。

質問

10^210/(10^10+3)の整数部分の桁数と一桁目の数を求めよ。

10^210/(10^10+3)＝(10^210+3^20-3^20)/(10^10+3)
=(10^210+3^20)/(10^10+3)-(3^20)/(10^10+3)
と変形して考えたら、
桁数は２０１けた、一桁目は０になりました。
解答がないので、正解がわかりません。
これでよいでしょうか。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(10^210)/(10^10)>(10^210)/(10^10+3)>(10^210)/(10^11)

10^200>(10^210)/(10^10+3)>10^199

10^200は201桁の最小整数、10^199は200桁の最小整数なので

∴(10^210)/(10^10+3)は200桁の整数

次に
x=10^10とおくと
10^210/(10^10+3)=x^21/(x+3)
=x^20-3x^19+9x^18- … -3^19*x+3^20-3^21/(x+3)
=x(x^19-2x^18+ … -3^19)+3^20 -3^21/(x+3)

x(x^19-2x^18+ … -3^19) は 10^10の倍数なので整数部に1桁目には関係なし。
3^20=3486784401
-3^21/(x+3)=-10460353203/(10^10+3)=-1.046…
3486784401-1.046… = 3486784399.953…
∴整数部の1桁目は「9」

お礼

ありがとうございます。
桁数、一桁目とも間違ってしまいました。
一桁目は引く数が１より小さい数と即断しました。

回答No.6

f272

すでにある回答を見ると，一桁目というのは一番大きい桁の数（算用数字で書くときいちばん左にある数）じゃなかったのね。小数点のすぐ左にある数なら1の位の数という言い方をするんじゃないのかなあ。

お礼

ご指摘されて、1の位の数というのが一般的だと
思いました。有り難うございます。

回答No.5

naniwacchi

#1です。

一の位の方ですが、もともと質問で書かれている変形では導くことは難しいですね。

#3さんが丁寧に書かれているように、
（なんとか その１）×10＋（なんとか その２）

の形に変形することで、
（なんとか その２）だけが一の位に寄与しているとしなければなりません。

基本的な構造はこういうことですが、
ここまで持ってくるのに二項定理（高次の展開）を用いて考えないといけないところが考えさせられるところになっています。

お礼

ありがとうございます。
なかなか慣れていないとどこから手を付けて良いか
分からなくなりますが、二項定理で考えるところが
ポイントですね。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の後半の補足をすると

>3^20=3486784401
>-3^21/(x+3)=-10460353203/(10^10+3)=-1.046…
この部分の計算は1/(1+y)のマクローリン展開の近似式
1/(1+y)=1-y+y^2-y^3+ …　(収束範囲|y|<<1)
≒1-y　(|y|<<1の場合)
を使います。ここでは y=3*10^(-10)として
-3^21/(x+3)=-10460353203/(10^10+3)
=-{10460353203/(10^10)}*1/(1+y)
=-1.0460353203*(1-0.0000000003)
=-1.0460353203*0.999999997
=-1.046…
と計算できます。

>3486784401-1.046… = 3486784399.953…
整数部分の1桁目は 9 が出てきますね。

お礼

ありがとうございます。
この種の問題の時は、近似値の大きさを求める方法が
威力を発揮しますね。
参考になります。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

質問文中には書かれていなかったので、追記しますが
3^21＝ ・・・という条件はありますよね？

もとの問題にはあったと記憶してます。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

むかーしの東大の問題ですね。
シンプルなようで突拍子もない感じが、なんとなく好きです。＾＾

・けた数
これはそんなに難しくありません。
というか、ざっくりとは検討つきますよね。
分母を考えると、10^10＜ 10^10+3＜ 10^11となるので、
10^210/10^11＜ 10^210/(10^10+3)＜ 10^210/10^10
10^199＜ 10^210/(10^10+3)＜ 10^200

ここまでくれば、答えはわかりますよね。

・一の位
これがなかなか厄介です。
ヒントになるのは、3^21＝・・・だけ。
これと分子の 210乗を結び付けるのですが、結び付けるところまで書いておきます。
ややこしくなるので、10^10＝ Aと置くことにします。
10^210/(10^10+3)
＝ A^21/(A+ 3)
＝ { A^21+ 3^21- 3^21 }/(A+ 3)
＝ (A^21+ 3^21)/(A+ 3)- 3^21/(A+3)

さて、第 1項って割り切れますか？＾＾

お礼

ありがとうございます。
桁数は＃１さんの解法がすっきりしていて間違いようがないと思いました。
一桁目は解答は９になって、これも間違ってしまいましたが、
解法の目の付け所は良かったのでしょうか。