システムの制御の問題について

質問

システムの制御の問題について

次のシステムについて下記の問に答えよ
・
x=Ax+Bu　A=[0,1;-2,-3] B=[0,1]^T
y=Cx　　 C=[2,1]

(1)
x(0)=[1,-2]^T,u(t)=0,t>=0である時、y(t),t>=0を計算せよ
(2)
x(0)=[1,0]^T,u(t)=1,t>=0である時、y(t),t>=0を計算せよ

といった問題があるのですが、どのように解き解答すればいいのでしょうか？

伝達関数G(s)=C(sI-A)^-1Bを計算したところ
G(s)=(s+1)((s+2)^2)になりました。
これを使うのでしょうが、どのように計算すればいいのか分かりません。

(1)(2)を馬鹿正直に一つ一つ当てはめて計算していくと
(1)はx(0)=[-2,4]^T,x(1)=[4,-8]^T,x(2)=[-8,16]^T,x(3)=[16,-32]^T,……,x(t)=[(-2)^(t+1),-2*-2^(t+1)]^T
となり、yは常に0、y(t)=0になりました。
(2)はx(0)=[-2,5]^T,x(1)=[5,-10]^T,x(2)=[-10,21]^T,x(3)=[21,-42]^T,x(4)=[-42,85]^T,……
となり、y(t)={t=偶数の時:1,奇数の時：0}となりました。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

(2)はざっと計算すると
Y(s)=(2s-1)/(s(s+1)) になりそうに思います。
これを部分分数展開すると
Y(s)=3/(s+1)-1/sになり、
y(t)=3exp(-t)-1　になるかと思います。

お礼

ありがとうございます。お陰様でやっと理解ができ、助かりました

回答No.1

foobar

伝達関数にもっていかずに、状態方程式、出力方程式をラプラス変換したところに、数値を入れて計算することになると思います。(でないと、x(0)を考慮できません。）

状態方程式をラプラス変換すると、
sX-x(0)=AX+BU　これから、X=(sI-A)^(-1)*(x(0)+BU)
出力方程式から
Y=CX
したがって、Y=C(sI-A)^(-1) (x(0)+BU)

1はU=0なので、Y=C(sI-A)^(-1) x(0) になって、これに数値を入れて、逆ラプラス変換するとy(t）を計算できるかと思います。

2では、u=1よりU=1/sからY=C(sI-A)^(-1) (x(0)+B*1/s)になり、これを展開、逆ラプラス変換することで、計算できるかと思います。
Y=C(sI-A)^(-1)

お礼

ありがとうございます。その通りにやると、(1)は0になりましたが、(2)がs^2+5^s+8+4/sとなり逆ラプラス変換できません。
すみませんが、教えていただけないでしょうか