数学Ⅱの質問です。至急よろしくお願いします!!

質問

問い 次の不等式を証明せよ。

|a|＋|b|≧|a-b|

|a|とは、絶対値aということです。

まず、解き方を教えてください。できれば計算式も書いていただけたら幸いです。

そして、授業で説明しなければならないので、説明の仕方もお願いします。

回答No.1

310283 · ベストアンサー

両辺とも正またはゼロなので
#1さんのアドバイスどおり、両辺を二乗しても同値関係や不等号の向きは不変です。
(a-b)^2≦a^2+b^2+2|ab|
を証明すればいいですね。

[証明]
(右辺)^2-(左辺)^2=2(|ab|+ab)≧0 （等号は |ab|=-abの時成立）
したがって
(a-b)^2≦a^2+b^2+2|ab|=(|a|+|b|)^2
(|a|+|b|)^2-(a-b)^2=(|a|+|b|+|a-b|)(|a|+|b|-|a-b|)≧0

a,bが同時にゼロでない場合　(|a|+|b|+|a-b|)＞0なので
(|a|+|b|-|a-b|)≧0　∴|a|+|b|≧|a-b| (等号は|ab|=-abの時)

a,bが同時にゼロの場合
(|a|+|b|-|a-b|)＝0
つまり、∴|a|+|b|＝|a-b|

２つの場合をまとめて
　∴|a|+|b|≧|a-b|　（等号は|ab|=-ab または a=b=0の時）

回答No.2

hugen

数直線で、
A(a),B(b),Ｏ(0)　とすると
|a-b|＝AB≦AＯ＋ＯB＝|a|＋|b|