線形代数学（ベクトル）の基本問題

質問

線形代数学（ベクトル）のかなり基本的な問題なのですが、
よくわかりません。
ご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。

　問）
　　-(a+b) = (-a)-b
　 が成り立つことを示せ。

です。よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

#1＞
成分なんかつかっちゃだめ．
どこにもR~nなんて書いてないし，
有限次元ベクトルだとも書いてない．

これは，a+bの加法逆元が(-a)-bであることを示せばいい．
公理を一個一個適用すればいい．
(-a)-b=(-a)+(-b)に注意して
(a+b)+((-a)-b)
= (b+a)+((-a)+(-b)) 和の順序交換
= b+(a+(-a))+(-b) 和の結合則
= (b+0)+(-b)
= b+(-b)
= 0
よって，-(a+b)=(-a)-b

お礼

ありがとうございます。

私が教えてほしかったのは
kabaokabaさんのような示し方なんです。

軽い気持ちで質問したのですが、
みなさんの色々なご意見が出ていますね。
なんかすみません。

みなさん本当にありがとうございます。

回答No.6

Tacosan

確かに基底を持ち出せば (ほとんどの場合に) R^2 で表現できるんだけど, 実際問題として「基底を使って表現できる」ことを示すにはここで上がっている問題を先に処理しないとダメなんじゃないかなぁ.
そういう意味では「成分」を使わない方がよりプリミティブで安全だと思います.

回答No.5

kabaokaba

No.1(No.3)>
No.4さんが言ってることに同意．
まあ，工学系のスタンスと
理学系，とくに数学系の考え方の差でもあるんだろうけど．

私のスタンスは
この質問の問題は線型代数の最初の方，
それもベクトル空間の「例の七つだか八つの公理」を
学習した直後の練習問題であるから
それに即した解になるであろうというところ．
そうでないと，この問題はあまりに無意味であり，
ベクトル空間の定義によって
抽象的な扱いに慣れるという配慮があるものと考えます．

だから「成分なんかつかっちゃだめ」です．
そもそも「成分の存在」は？
成分の存在はすなわち「基底の存在」だけども
いつでも必ず基底は存在する？
任意の（無限次元を含む）ベクトル空間の
基底の存在はZornの補題と同値であり，すなわち
選択公理と同値なんだから，使わなくてもいいときに，
わざわざうかつに出すものではないです．
＃線型代数の入門的教科書をみると，きちんとしてる本だと
＃有限個の要素からなる基底が存在するベクトル空間のことを
＃有限次元ベクトル空間というみたいな定義があって
＃本書では「有限次元ベクトル空間のみ扱う」とかあることが多い．
＃こうすることで「基底が存在する」ことを暗黙に仮定するのであって
＃「任意のベクトル空間には基底が存在する」
＃とは書いてない．

くわえて
＞ベクトルa↑とベクトルb↑を含む平面に２つの座標軸をとれば、他の座標軸成分は全てゼロになるので、

与えられた（複数の）ベクトルを含む生成系が存在する
ってのも，生成系の構成に関する定理だし，
その生成系から基底を構築できるというのも定理です．
これらは（有限次元であっても）それほどは自明ではないです．

回答No.4

nag0720

２次元にしていいの？

-(a+b) = (-a)-b
これは基本中の基本なのだから、それの証明に、
「ベクトルa↑とベクトルb↑を含む平面に２つの座標軸をとれば、他の座標軸成分は全てゼロになる」
なんてこと使っていいのかなあ。
直感的にはそうだけど、そっちの証明のほうが難しいのでは？
というか、その証明は「-(a+b) = (-a)-b」を使わなくても可能？

回答No.3

info22

>#1＞
>成分なんかつかっちゃだめ．
こんなこと言っちゃって？？？

ベクトルa↑とベクトルb↑がn次元であろうとなかろうと
ベクトルa↑とベクトルb↑を含む平面に２つの座標軸をとれば、他の座標軸成分は全てゼロになるので、所詮、２次元座標平面でベクトルを扱っても、普遍性が損なわれるわけではないと思うが。。。
なので２次元成分をつかってもなんら問題ないだろう。

所詮、座標系の選び方次第で、２次元座標平面で扱える問題に過ぎない。

回答No.1

info22

解き方

a↑=(x1,y1),b↑=(x2,y2)と成分に分けて
左辺と右辺をベクトルのそれぞれの合成を考えてみてください。