2つの円錐の共通部分の体積
【問題】
xyz空間内に点A(-2, 0, 2)とB(2, 0, 2) がある．また，点Pはxy平面上の原点を中心とする半径2の円の周と内部を自由に動く点とする。
線分APの通過する範囲をK，線分BPの通過する範囲をLとするとき，KとLの共通部分の体積を求めよ．
上の問題を解いていたのですが，行き詰ってしまったためどなたか教えていただけませんか．以下，私の解答です．また，表記の都合上，OAベクトルを「OA↑」と書くことにします．
【私の解答（途中まで）】
xy平面上の原点を中心とする半径2の円の周を自由に動く点をQとすると，Q(2cosθ, 2sinθ, 0) (0≦θ≦2π)とおける．線分AQ，BQと平面z=t(0≦t≦2)の交点をそれぞれA'，B'とする．A'，B'はそれぞれ線分QA，QBをt:(2-t)に内分する点なので，
OA'↑=(1/2){(2-t)OQ↑+tOA↑}
=((2-t)cosθ-t, (2-t)sinθ, t)
同様に，
OB'↑=((2-t)cosθ+t, (2-t)sinθ, t)
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1より，z=t上におけるA'の軌跡は
(x+t)^2+y^2=(2-t)^2 …(1)
同様に，B'の軌跡は
(x-t)^2+y^2=(2-t)^2 …(2)
点Pはxy平面上の原点を中心とする半径2の円の周と内部を自由に動くので，KとLの共通部分をz=tで切ってできる断面は(1)と(2)の円の周と内部の共通部分である．そこで，この部分の面積をS(t)とおき求める．
(1)と(2)はy軸に関して対称なので，(2)とy軸に囲まれてできる部分の面積の2倍がS(t)である．
また，共通部分ができるには，(2)の半径が，中心のx座標以上であればいいので，
2-t≧t⇔t≦1
0≦t≦2と合わせて，0≦t≦1
さて，図（※添付画像）のように点を定め，∠ORS=φとする．このとき，∠OUS=2φ．
OR=2，OS=2√(1-t)より，RS=2√(2-t)
よって，cosφ=1/√(2-t) …(3)
S(t)=2{(扇形STU)-(三角形STU)}
=2{(1/2)・(2-t)^2・4φ - (1/2)・(2-t)^2・sin4φ}
=4φ/(cosφ)^4+sin4φ/(cosφ)^4
あとは，求める体積をVとすると，
V=∫[0→1]S(t)dt
ですが，(3)を用いてtからφの積分にする訳ですが，被積分関数が複雑な形になってしまい計算することができません．
どこかで計算ミスをしているのでしょうか？それとも，φの置き方がまずかったのでしょうか？
どなたか分かる方，どうか教えていただけませんか．よろしくお願いいたします．
お礼
ご回答ありがとうございます。 二重積分の解き方以前に作り方がよくわからないです・・・ ｒ、θというのは極座標にして考えるということですか?