ラプラス変換はＳ領域のどこに時間領域の情報を写しているのでしょうか？

質問

ラプラス変換はＳ領域のどこに時間領域の情報を写しているのでしょうか？

フーリエならjω軸上に写しているので、何となく感じがつかめるのですが、
ラプラスの場合、実際、Ｓ領域の収束領域のどこに写しているのか感じがつかめません。　

(σ+ｊω)のσの値の範囲は収束領域でわかるのですが、、、
その領域内のどこに、どのように時間領域の情報は写されているのでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.5

foobar · ベストアンサー

「時間領域の情報」というのをどういう意味合いで使っているか、によりそうに思います。

時間関数 f(t)がどのようにしまわれているかとなると、
s領域の全体にばら撒かれていて、＃３さん回答にあるように、極と溜数の形で（形としても？）現れてくる、と見るのがよいように思います。

時間領域の情報というのがt=Tにおけるfの値f(T)だとすると、
f(T)=∫f(t)δ(t-T)dt の操作をしたものとも考えることができます。
これをラプラス変換すると、
F(s)exp(-sT)になり、f(T)の情報はF(s)exp(-sT)としてs領域全体に分布している、とみなすこともできるかと思います。

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。

回答No.4

endlessriver

質問の意味を勘違いしました。ｓの中には時間領域の情報（意味がつかみにくいので函数f(t)のこととする）はありません。
F(s)=L{f(t)}という一対一対応　L:f→F　として函数Fと写像Lの組にfの情報があります。(F,L)とfは赤い糸を通してしっかりと結びついとります。

お礼

丁寧に教えてくださり、ありがとうございました。

回答No.3

noname#101087

荒っぽい言い方をすれば、「極」とそこでの「留数」の値として、「時間領域の情報を写している」のでは？

回答No.2

endlessriver

素人で申し訳ないですが、ラプラス変換とはある関数のクラスが作る関数空間からある関数空間への写像です。この関数間で大体一対一対応しているということなのでF(s)=L(f(t))としてF(s)という関数そのものに時間領域というか関数の時間的変化？が含まれていると思います。
でないと逆変換できないので。

回答No.1

foobar

ラプラス変換したことで「時間」の情報は残っていないかと思います。
（これはフーリエ変換でも同じです。）
あえて言えば、時間領域での挙動（減衰の時定数の分布）が反映されている、ということになるかと思います。