位相空間について勉強し始めました。最初の章の基礎的な問題です。

質問

平面上で、任意の等長変換は３つ以下の鏡映の合成写像として表されることを示
せ。ただし、次の事実を使ってよい。

「平面上で、任意の回転は２つの鏡映の合成写像として表される。」…（*）

という問題に対する解答は、以下のような感じでだいたいOKでしょうか？

等長変換f:R^2→R^2 を考える。任意の△ABCを１つ選んで固定する。このとき、f
は等長変換だから、
△ABC≡△f（A）f（B）f（C）
が成立する。Aをf（A）にうつす鏡映をgとする。すなわち、線分A{f（A）}の垂直
二等分線を対称軸mとする鏡映がgとなる。
このときg（A）=f（A）であるが、もしさらにg（B）=f（B）かつg（C）=f（C）な
らば、fとgは一致する。ゆえにfは鏡映である。
したがって、g（B）≠f（B）またはg（C）≠f（C）の場合を考えれば十分である
。

もし△f（A）f（B）f（C）と△g（A）g（B）g（C）の向きが同じならば∠g（A）f
（A）f（B）の大きさをθとおき、中心がf（A）で回転角がθである回転をh1とす
る。このとき、
f（A）=（h1。g）（A）、f（B）=（h1。g）（B）、f（C）=（h1。g）（C）
いまfは等長変換であり、h1。gは（*）より３つの鏡映の合成写像として表される
ことがわかる。
△f（A）f（B）f（C）と△g（A）g（B）g（C）の向きが反対ならば、線分f（B）g
（B）の垂直二等分線lを対称軸とする鏡映をh2とする。この場合も、
f（A）=（h2。g）（A）、f（B）=（h2。g）（B）、f（C）=（h2。g）（C）が成り
立つ。したがってf=h2。gが成り立つ。ゆえにfは２つの鏡映の合成として表され
る。
以上のことから、平面上で任意の等長変換は３つ以下の鏡映の合成写像として表
される。

（合成の「。」マークは、丸の位置を真ん中にしたかったんですけど、そういっ
たマークが出てこなかったために、「。」になってしまいました）

回答No.1

alice_38 · ベストアンサー

質問は、本当に「位相空間」の問題ですか？
そういうふうには、見えないのですが。
これは、つまらぬ揚げ足取りではなく、
回答するにあたって重要な前提の確認です。

貴方は、

＞ fは等長変換だから、△ABC≡△f（A）f（B）f（C）

とか、

＞ もし△f（A）f（B）f（C）と△g（A）g（B）g（C）の向きが同じならば

(「向き」の定義は、どうなっているでしょうか？) とか、
平面幾何の知識を多量に証明に持ち込んでいますが、

そういうことをしても良い種類の問題なのかどうか
に関わる事項だからです。

質問が初等幾何の問題であれば、
証明の論旨は正しいが、省略が多くて話が飛び過ぎ。
群論の例題などであれば、たぶん、その程度で ok。
線型空間の例題であれば、幾何学の援用は御法度。
位相空間の問題であれば…、いったい、どうなんでしょう？

補足

ご回答ありがとうございます。
位相空間に関する参考書に載っていた問題です。
解答のページにはヒント程度のものしか載っていなかったので、そのヒントや、ほかの例題などを参考にして自分の言葉でまとめてみました。