解析学をやるために必要な微分・積分の知識

質問

大学で解析学を受けているのですが、全然ついていけません。どうやら微分・積分をすっかり忘れてしまっているます。復習しようと高校の数学(3)の参考書を開いたのはいいのですが、全部やろうと思うと物凄い量なので理解する前に解析のテストになってしましそうです。
ある程度範囲を絞りたいのですが、どの辺を復習すればいいのでしょうか？というより、どの辺は抜かしても差し支えないのでしょうか？
数学に詳しい人回答をお願いします。

回答No.4

puni2 · ベストアンサー

こんにちは。
>すぐに脱線しやすくて変な事に興味を持ってしまうのです。すみません。
いえいえ，私も同じですので…(^^;)
ただ，このサイトでは，当初の質問から外れすぎたやりとりは好まれないようで，場合によっては管理人に削除されたり，独立した別の質問と回答として作り直されることもあります。
前の質問（微分の定義）は一応，最初の質問に関連した追加質問といえるでしょうが，今回のはどう判断されるでしょうね。
もしかしたら別の質問扱いされるかもしれませんが，とりあえずこちらで回答しておきます。

>傾き=x/yとなっている事に深い意味はあるんですか？
>傾き=x/yというのは何かの証明でこうなったのか、こういう形じゃないとマズイのか。
>傾き=y/xにしようとすると全然違う意味になってしまうのか。
えーっと，これ，逆ですよね？

で，何と答えたものでしょうか。意味があるともいえるし，ないともいえる。

まず，「意味がある」のほうですが，一次関数は一般的に，y=ax+b（a,b定数）という形になりますね。
このときのaの値を求めようとすると，自ずと「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」になってしまうのです。
かりに，x=x1のときy=y1，x=x2のときy=y2としましょうか。
すると，次の2式が成り立ちます。
y1=ax1+b
y2=ax2+b
これらを，aとbについての連立方程式と考えて，aについて解くと（bを消去すればよい），x1≠x2の場合，
a=(y1-y2)/(x1-x2)
となります。
そういう意味では，これを逆にすることはできません。

では，「意味がない」という部分はどこかというと，この係数aを傾きと呼んでいることについてです。
意味がない，というとちょっと言い過ぎかもしれませんが，たとえば「ｘ座標の差÷ｙ座標の差」を「傾き」と定義しても，数学的にはいっこうに構わない，ということです。
もしそうした場合，係数aは「傾きの逆数」と呼ぶことになるでしょうね。

実際，坂道などの勾配を考える時，「水平距離で1km進むと何mほど登る（下る）か」という言い方が多いですが，逆にして「あと標高差にして100m登るには，水平距離で（つまり地図上で）何m進めばよいか」と考えてもいいですよね。

そういう意味合いでは，「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」を傾きと呼ぶか，それとも「ｘ座標の差÷ｙ座標の差」のほうを傾きと呼ぶかは，別にどちらでも（数学的には）構いません。
ただ，便宜的に「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」を採用している，ということでしょう。
その理由としては，(1)係数aの呼び名が「傾きの逆数」となるより「傾き」だけのほうが便利，(2)日常生活でも，そちらの定義を使うことが多く，また数字（の絶対値）が大きいほうが急傾斜なので，直感的にも分かりやすい，というあたりではないでしょうか。
（完全な推測です。実はなにか深いわけがあったりするのかもしれませんが，ちょっと分かりません。）

お礼

y/xでしたね（汗）なんだか最近、数学に神秘的なものを感じてきました。
ところでルール違反の用な質問のしかたすみませんでした。以後気をつけます。
色々と丁寧に教えてくださってありがとうございます！

回答No.3

puni2

補足質問のほうに答えますね。

>この２つの式を見比べるとなんだか全然違うものに見えて分けが分からなくなっちゃうんですけど、

そりゃそうですよ。だって全然違うんだから。(^^)
三平方の定理で求まるのは，斜辺の「長さ」です。「傾き」ではありません。

中学校の数学に戻って考えてみましょう。
1次関数のグラフを習った時，「与えられた2点の座標から，この2点を通る直線の式を求める」というのを習ったと思います。
このとき，傾きをどうやって求めたか覚えていますか？
「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」です。
式で書くと，A(x1, y1)とB(x2, y2)を通る直線の傾きは(y2-y1)/(x2-x1)です。
三平方の定理を使うのは，2点AB間の「距離」を求める時です。傾きではありません。

lim {f(a+h)-f(a)}/h
の意味ですが，結局「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」と同じことです。
前の式と対応させると，
x1→a
x2→a+h
y1→f(a)
y2→f(a+h)
です。（図がないと分かりにくいかもしれませんが，自分で描いて考えてくださいね）

ただ，直線のときは，2点を直線上のどこにとってもよかったのですが，一般のグラフは直線とは限らないので，2点の取り方によって傾きが変わってきます。
そこで，「点Aにおける傾き」といったら，BをなるべくAの近くにとることにして，どんどんBをAに近づけていくことにするのです。
最初からAとBを一致させてしまうと，ｙ座標の差もｘ座標の差も０になってしまって，「０÷０」となり，これでは計算できないので，「すぐ近く」にとるのがミソです。
つまり，点Aのx座標をaとしたとき，「x座標がaよりほんの少し大きい，または小さい」という気持ちで，点Bのx座標を「a+h」とするわけです。
したがって，hは０に非常に(hijouni)近い数になります。
こうすれば０÷０にならずにすみますね。
こうしておいて，hをどんどん０に近づけて行った時，「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」がある一定の値に近づくのであれば，その値がf'(a)ということになります。

（実は，外国の文献でも小さい数にhという記号を使っていたりしますので，hijouniの頭文字ではないと思います。本当の由来は分かりません。）

>こういうのは気にしない方がいいのですかね？(^^;)

いえいえ，むしろどんどん気にしたほうがいいと思いますよ。自分はささいな，くだらない疑問だと思っていても，実はそこに大きな落とし穴とか勘違いがひそんでいることもよくありますので。

お礼

よいアドバイスありがとうございました。

補足

あぁ！言われて気づきました。習いました！
長さじゃないんですもんね。傾きを求めているんだった。言われて気づいているじゃ、やばいですね。

それで、また新たな疑問が出てしまいました。
自分は中学校の頃、傾きを求める時は「ｙ座標の差÷ｘ座標の差」といわれただけで、どういう経緯でこのような式が出てきたのかよくわからずに覚えていたのですが、なぜこのような式が出てきたのでしょうか。

例えば、傾き=3/4だとしたらx軸にプラス方向に４つ移動し、y軸にプラス方向に３つ移動する傾き方を現していますよね。
これって傾き=y/xと決まっているからみんなが理解できるわけで、もし傾き=x/yだったら傾き=4/3とすればそれはそれでみんな理解できると思うんですけど。
つまり（わかりずらいんですけど）、傾き=x/yとなっている事に深い意味はあるんですか？傾き=x/yというのは何かの証明でこうなったのか、こういう形じゃないとマズイのか。傾き=y/xにしようとすると全然違う意味になってしまうのか。
という事が知りたいのですが知っていたら教えてください。
ネットで調べた限りではなさそうなんですけど。

※わけわからない質問ですみません。すぐに脱線しやすくて変な事に興味を持ってしまうのです。すみません。

回答No.2

fushigichan

HeyBulldogさん、こんにちは。

解析学を学ぶと、まず、数列の収束、関数の極限値などが出てきます。
それから、関数の連続性、微積分法、偏微分法、微分方程式、
重積分、無限級数などを学ぶようになってきます。
基本概念として、数列が収束するための判定条件のところを
理解するようにしてください。

確かに、高校数学の復習をしているうちに、テストになってしまいそうです。
復習は、微分、積分の基本的な考え方くらいでいいと思います。
すべての問題を解いている時間はないと思います。
微分するとは、どういうことなのか。その公式は？
積分するとは、どういうことなのか。その公式は？
あと、置換積分なども覚えておくといいでしょう。
大体、基礎を詰め込んだら、解析の教科書の最初に戻って
特に、Cauchyの判定条件、関数の連続性の定義などを
そらで書けて、その意味を説明できるくらいになっておけばいいです。
テスト問題も、ほとんどその応用です。

解析学。難しいです！だけど、分かったときには、感激するものがあります。
まだまだ新学期は始まったばかりです。頑張ってくださいね！！

お礼

とりあえず、アドバイスをしてもらった範囲をガリガリやってみようと思います。
アドバイスありがとうございました。

補足

とりあえず、微分は導関数の定義、導関数の性質、三角関数・対数関数・指数関数の微分方。
積分は基本的な不定積分、置換積分を公式を覚えるる事を中心に復習してみようと思います。
それ以外にやった方がいいと思われる所があったら是非教えてください。

補足の質問よろおしいでしょうか？
微分するとは、傾きを求める事ですよね？
それで思ったんですけど、
f'(x)=lim { f(a+h)-f(a)/h }
↑この式がなんで成り立つのか、よくわかりません。
傾きっていうのは直角三角形の斜辺ですよね？だったら三角形ってピタゴラスの定理で
斜辺の二乗＝底辺の二乗＋高さの二乗
ですよね。なんでこれ使わないんですか？ルートになっちゃうからですかね？それともlimが何か関係しているのか・・。
この２つの式を見比べるとなんだか全然違うものに見えて分けが分からなくなっちゃうんですけど、こういうのは気にしない方がいいのですかね？(^^;)

回答No.1

Mell-Lily

解析学は、数学の主要な分野であり、実際には、非常に豊富な内容を含んでいます。講義項目は、具体的には、どのようになっているのでしょうか？
まず、教科書の基本事項は、一通り押さえておきましょう。問題の解き方などは、取り敢えず、脇に置いておいてもいいでしょう。

お礼

アドバイスありがとうございます