IIRフィルタの応答を高速にする方法

質問

入力信号をIIRフィルタに通すと、一般に、出力が落ち着くまで時間がかかります。
この時間を短縮する方法はありますでしょうか。
例えば、一定振幅　A Hz + B HzのSin波を、中心周波数がA Hzで帯域幅が狭く次数の高いIIR BPFに通すと、出力信号の振幅は、しばらく0が続き、途中からグワっと大きくなり、やがて一定のA Hzに落ち着きます。
帯域幅や次数を変えないで、信号を入れた直後から、振幅一定のA Hzの出力を得たい（応答を早める）のですが、可能でしょうか。
アドバイス、お願いいたします。

回答No.8

noname#101087 · ベストアンサー

>3.極、零点はs平面状に無数に存在します。その中から、どのようにして G(s)の式を導いたのでしょうか。

1. 2. への疑問も、これで氷解するでしょう。
一口でいえばカット＆トライですけど、ターゲットを単純化しているので、それほど面倒じゃありません。
(すべて、スプレッドシート上で、シート関数のみ使って試作)

・直線周波数ω = 1±2% で 3dB ダウン、1±4% で 10dB ダウン、隣接 B (1±6%) に減衰極、の伝達関数 G(ω) の試作。
　まず想いつくのは、隣接 B (1±6%) にて並列共振点、中心 ω = 1 にて直列共振点となる LC 共振回路を入出力抵抗間に直列挿入したシンプルな 2-ポートを想定。
　G(ω) = 1/{1 + (K/2)*jω(1 - ω^2)/(q1^2 - ω^2)(q1^2 - ω^2)}
　　K = 1.7, q1 = 0.94, q2 = 1.06
明らかに、ω = 1 にて 0 dB、ω = q1, q2 にて -∞dB ですね。
K は、ω = 1±2% で 「約」3dB ダウンとなるよう狙ってみました。
その結果がω = 1±4% で 10dB ダウン。

(体裁のため) 因数分解した結果 (s = jω)、
　G(s) = (s^2 + q1^2)(s^2 + q2^2)/(s^2 + b1*s +c1)(s^2 + b2*s +c2)
　　q1 = 0.941, q2 = 1.059,
　　b1 = 0.235013, c1 = 0.990744, / b2 = 0.059105, c2 = 1.002328
でした。

なお因数分解は "Bairstow-Hitchcock の方法" が便利。
　　　　　　　　　　　　↓　参照ページ
　http://www.mech.titech.ac.jp/~dosekkei/kuma/material_lectures/materialoffer/math_bairstw.pdf

次数が少ないので、スプレッドシートで組むほうが楽チン。
クローン(コピー)を貼り付けていくと、逐次勘定 (iteration) してくれます。

お礼

素晴らしいです！

Excel等で式を組立てられたのですね。

確かに、G(ω)はω=1で0、ω= q1, q2で∞になっています。
並列共振、直列共振、抵抗を組合わせて、フィルタ特性を作る
総合力に感激しました。

因数分解の方法も参考になります。今度、試してみます。

後は、G(ω)そのものか、微調整をしてフィルタ特性をゆるめ、
遅延を少なく持っていけそうです。

また、(一朝一夕にはいきませんが)Excel上でG(ω)を求める式を
組み立ててみたいと思っています。

具体的にご指導いただき、まことにありがとうございました。

回答No.7

noname#101087

遅ればせの因数分解。...... 忘却しそうなので為念、メモ。

>直線周波数ω (A で規準化)の 1±2% で 3dB ダウン、1±4% で 10dB ダウン、隣接 B (1±6%) に減衰極、という伝達関数 G(s) ....... (s = jω)

　G(s) = (s^2 + q1^2)(s^2 + q2^2)/(s^2 + b1*s +c1)(s^2 + b2*s +c2)
　　q1 = 0.941, q2 = 1.059,
　　b1 = 0.235013, c1 = 0.990744, / b2 = 0.059105, c2 = 1.002328

スプレッド・シートで関数シミュレート済み。

お礼

いつもありがとうございます。助かります。

私は、次数とカットオフ周波数から、一律に係数を求めており、周波数と減衰量から伝達関数を求めたことはないため、興味深く思っています。
分からない用語もありますが、まずは式をたどってみて、その上でまたご質問いたします。（確認に日数がかかりそうです）

今回の回答を通じ、遅延の少ない減衰特性を得る技術を身に付けられれば、嬉しく思います。

補足

ボード線図にて周波数特性を確認しました。
きれいな形をしていました。ありがとうございました。

いくつか分からない点が出ました。
またご指導頂けると嬉しいです。

1.G(s)の極を計算しますと、
極1=0.1175065±0.9884008j、極2=0.0295525±1.0007271j
abs(極1)=0.9954 (-0.46%)、 abs(極2)=1.0012 (+0.12%)
となっていました。
ここは、本来は(-2%)、(+2%)となるのでしょうか。
(なお、零点は、(-6%)、(+6%)となっています)

2.「1±4%で10dBダウン」は、設計条件として与えて、解析的にG(s)を
求めたのでしょうか。
それとも、極、零点を調節して、「1±4%で10dBダウン」に近付けたのでしょうか。

3.極、零点はs平面状に無数に存在します。その中から、どのようにして
G(s)の式を導いたのでしょうか。魔法のように思えます。
参考になるWeb等はありますでしょうか。

質問ばかりですみません。よろしくお願いいたします。

回答No.6

noname#101087

訂正も限界オーバーですが、G(ω)は右辺の逆数でした。
言い訳も種切れ。

お礼

重ねてのご回答、ありがとうございます。
回答をたどり確認いたします。
ただ、私の能力とシミュレーション環境の関係で、時間がかかりますが、
ご容赦下さい。
具体的なご指導、本当に助かります。
取り急ぎお礼まで。

回答No.5

noname#101087

度々の訂正、蒙御免。
有理関数の通分をサボってました。
------------------

　G(ω) = 1 + (K/2)*jω(1 - ω^2)/(q1^2 - ω^2)(q1^2 - ω^2)
　　K = 1.7, q1 = 0.94, q2 = 1.06

回答No.4

noname#101087

タイプミスの訂正。
----------------

　G(ω) = K*(q1^2 - ω^2)(q1^2 - ω^2)/jω(1 - ω^2)
　　K = 1.7, q1 = 0.94, q2 = 1.06

回答No.3

noname#101087

>A(Hz)の両側に±(半音の1/3)程の帯域幅を設け ....

「半音」とは、freq 比(間隔)で 6% くらいですかね。
±(半音の1/3)程の帯域幅なら 2% 。

目安の一例。

直線周波数ω (A で規準化)の 1±2% で 3dB ダウン、1±4% で 10dB ダウン、隣接 B (1±6%) に減衰極、という伝達関数 G(ω) を想定すると、
　G(ω) = K*(q1^2 - ω^2)(q1^2 - ω^2)/jω(1 - ω^2)
　　K = 1.7, q1 = 0.94, q2 = 1.04
隣接 B より外側の不足分は、ゆるやかな BPF を付加して除去。

おそらく、これが最低遅延の目安になるでしょう。

回答No.2

noname#101087

>質問：最少移相関数とは何でしょうか。 ....

IIR なら、おそらく「最少移相(minimum phase-shift)」でしょうね。

FIR で直線位相にすると、「最少移相」でなくなり、遅延量が増えます。
　　↓ 参照例
　http://ufcpp.net/study/dsp/phase.html
>線形位相と最小位相

>A と B (Hz)は近いため、急峻なフィルタが必要です。

A を通過し、B を阻止するだけなら、BEF (帯域阻止フィルタ) にして余分な減衰量を減らせば、改善の余地があるかも。
現設計が IIR ということは、B に減衰極 (通過零点) があるのでしょうけど、余分な減衰域はどの程度？

お礼

重ねてのご回答ありがとうございました。

>IIR なら、おそらく「最少移相(minimum phase-shift)」でしょうね。

>FIR で直線位相にすると、「最少移相」でなくなり、遅延量が増えます。
>　　↓ 参照例
>　?http://ufcpp.net/study/dsp/phase.html?
>線形位相と最小位相

難しそうですね。後で勉強してみます。
ありがとうございます。

>A を通過し、B を阻止するだけなら、BEF (帯域阻止フィルタ) にして余分な減衰量を減らせば、改善の余地があるかも。
>現設計が IIR ということは、B に減衰極 (通過零点) があるのでしょうけど、余分な減衰域はどの程度？

情報が不十分で、申し訳ありません。
実際は、入力信号は、半音づつ異なる複数の音です。
その中から、A(Hz)のみ取り出したいのです。
そのため、A(Hz)の両側に±(半音の1/3)程の帯域幅を設けて
います。
帯域幅をもっと大きくできればいいのですが、
半音が区別できなくなります。

>余分な減衰域どの程度？
急峻で帯域幅を狭くする必要があるため、余分な減衰域は
無さそうです。

帯域幅の狭いBPFではなく、カットオフ周波数が
・A(Hz)-(半音の1/3)のHPF　と、
・A(Hz)+(半音の1/3)のLPF
を通すと、遅延が小さくなるかもしれない、と思いました。

回答No.1

noname#101087

ご質問の文面から憶測できる原因。

・出力信号の遅れ　…　バンド幅が狭いので、通過信号の遅延が増大。(最少移相関数なのでしょうね)
・リンギング大　…　減衰特性の立ち上がりが急峻で、過渡応答が振動的。

A と B (Hz) が近すぎて、設計の自由度がほとんど無いかも。
A がワンポイントであれば、なるべくダラダラ減衰特性を立ち上げる。

補足

早速のご回答、ありがとうございます。

> ・出力信号の遅れ　…　バンド幅が狭いので、通過信号の遅延が増大。
> (最少移相関数なのでしょうね)

ご指摘の通り、狭いバンド幅です。

質問：最少移相関数とは何でしょうか。初めて知りました。
解説のあるWEBや本を教えて頂ければ幸いです。

IIRフィルタの係数計算は、MATLAB等を使わず自前で行っています。
今後もそうしたいと思います。

> ・リンギング大　…　減衰特性の立ち上がりが急峻で、過渡応答が振動的。

急峻な特性が必要で、バタワース8次(縦続型4段)のBPFとしました。
過渡応答は、感覚的な説明ですが「口ばしの長いコブラの頭」の
ような形です。

> A と B (Hz) が近すぎて、設計の自由度がほとんど無いかも。

その通りです。A と B (Hz)は近いため、急峻なフィルタが必要です。

> A がワンポイントであれば、なるべくダラダラ減衰特性を立ち上げる。

必要以上に急峻にしない、ということですね。
ワンポイントの時は、そのように致します。