数的処理

質問

問題
異なる自然数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ（Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ）があり、このうち二つの数の差をすべての組み合わせについて求めるとそれらは互いに異なる。（ＡーＤ）が最も小さくなるときに、（ＡーＢ）のとりえる値は？

解答
ＡーＢ、ＡーＣ、ＡーＤ，ＢーＣ、ＢーＤ、Ｃ－Ｄの6個の値が異なるので6個の自然数の組み合わせを考えればよい。この中の６個のなかでもっとも大きい（ＡーＤ）の値がもっとも小さくなればよいので、6個の異なる自然数は１，２，３，４，５，６となる。
よって（ＡーＢ、ＡーＣ、ＡーＤ，ＢーＣ、ＢーＤ、Ｃ－Ｄ）＝（１,４,６,３,５,２）（２,５,６,３,４,１）

となっていて、6個の異なる自然数は１，２，３，４，５，６となる。まではわかるのですがその後の組み合わせで（ＡーＤ）は６個の中で一番大きい数より６、次にＡーＣ，ＢーＣが大きくなり、最後の３つの数
ＡーＢ、ＢーＣ、Ｃ－Ｄとなるから解答でＢーＣが３になっているのがわかりません。ＡーＢは１，２，３の値をとるのではなくなぜ１，２だけにとることになっているか教えてください

回答No.4

sono0315 · ベストアンサー

決定していることとして
A-D＝６
A-C,B-Dは４か５
A-B,B-C,C-Dはそれぞれ1,2,3のどれか

ここまでいいのなら一番下の条件から以下の操作をする
(A-B)+(B-C)=A-C　４か５のどちらか
(B-C)+(C-D)=B-D　４か５のどちらか

もしB-Cが１か２の場合
(A-B)+(B-C)=A-C
(B-C)+(C-D)=B-D
この計算結果のA-C,B-Dのどちらかは３か４になる

ここでA-C,B-Dのどちらかは４，５のいずれかなので
矛盾が出ないようにするためにB-Cは３でなければいけない

以上をまとめると
A-D＝6
A-C,B-Dは4か5
B-C＝3
A-B,C-Dは1か2

回答No.3

naniwacchi

数直線上で考えてみてはいかがでしょうか？
Ａ－Ｄ＝６となったので、図に表してみます。
　Ａ○○○○○Ｄ
この中に、ＢとＣを配置してどの２点の間も等しくならないようにすればいいのです。

たとえば ＡＢアイウエＤ とＢを決めた場合、
「ア」の場所にＣを置くと、Ａ－Ｂ＝Ｂ－Ｃ＝１となり不適
「イ」の場所にＣを置くと、Ａ－Ｃ＝Ｃ－Ｄ＝３となり不適
というようになります。
以下同様に考えれば、Ｂ－Ｃ＝３のときのみ配置ができることがわかります。

あらゆる２点間の距離が異なるように点を配置するという問題の応用に近い問題だと思います。
確か、コンピュータを使って調べたりするようなことを聞いたことがあります。

回答No.2

yasei

A-B=3⇒A-D=6よりB-D=3
条件を満たさない。
また、A-B>4とするとA-D>6となり条件を満たさない。
∴A-B<3

回答No.1

makiossk

まず，下から３行目
「次にＡーＣ，ＢーＣが大きくなり」
Ｂ－Ｃ　ではなく　Ｂ－Ｄ　ですね
例えばＡ－Ｃ＝４　　かつ　Ｂ－Ｄ＝５　
なら　Ｃ－Ｄ＝２　と　Ａ－Ｂ＝１　です。
残りのＢとＣの差は３です。