コブダグラス型効用関数（4つの変数を持つ時）の最適解を教えてください。

質問

経済学のコブダグラス型効用関数の話についてです。

以下のような4つの変数の時，ラグランジュで各変数の最適解は求めるとどのような値になるのでしょうか？
（効用最大化つまりUが最大値を取る時のX1～X4の最適な組み合わせを求める問題です。）

U＝A*X1＾b*X2＾c*X3＾d*X4＾e （b+c+d+e=1）
s.t.X1*P1+X2*P2+X3*P3+X4*P4＝V

X1～X4：各財の数量
P1～P4：各財の価格
V：予算制約
A：定数
b，c，d，e：X1～X4に対するパラメーター

一般的な2変数の形（資本K，労働L）だと簡単に理解できるのですが，変数が増えると自信がなくなります（自分の数学の能力の問題だと思うのですが…）。

本当にわからないので焦っています。どなたかわかる方がいらっしゃいましたら御教示下さい。
宜しくお願いします。

回答No.1

suna01suna · ベストアンサー

ラグランジュ関数が
L(X1,X2,X3,X4;λ)=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e+λ(V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4)
です。これをそれぞれの変数で偏微分して=0とおくわけですから、
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X2=A*c*X1^b*X2^(c-1)*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X3=A*d*X1^b*X2^c*X3^(d-1)*X4^e=0
∂L/∂X4=A*e*X1^b*X2^c*X3^d*X4^(e-1)=0
∂L/∂λ=V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4=0
の5つの式を得ます。この連立方程式をド根性で解けば良いわけです。

ただ、この問題の場合、コブダグラス型効用関数ですし、上の連立方程式を解かずとも答えは出せます。
xi=(対応するパラメータ）*V/(b+c+d+e)Pi (i=1～4)　…(1)
です。
b+c+d+e=1
なわけですから、
Xi=(対応するパラメータ）*V/1*Pi (i=1～4)
になります。
なので、答えは
X1=b*V/P1
X2=c*V/P2
X3=d*V/P3
X4=e*V/P4
です。
どうしても、ラグランジュ乗数法を解いて答えなくてはならない場合は、上の連立方程式を解けば同じ答えが出ますが、時間かかるのでおすすめしません。解く必要がないのなら、(1)式覚えちゃいましょう。

お礼

suna01suna様

本当にありがとうございます。
助かりました～（涙！！
ラグラジュ関数を偏微分して5つの方程式までできたのですが、
ど根性がなく、広告の裏を何枚も無駄にしてしまっていたところでした。

>xi=(対応するパラメータ）*V/(b+c+d+e)Pi (i=1～4)　…(1)
こういうような便利な公式（？）があったのですね、勉強になりました。
感謝感謝です！

回答No.2

at9_am

#1の回答のタイポ？の訂正と楽な解法について。

> ∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e=0

は誤りで、正しくは
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e -λP1 = 0
となります。X2～X4に対しても同じです。

さて、楽な解法としては次のようになります。

A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e = b*A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e / X1 = b U/X1
なので
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e -λP1 = 0
は
∂L/∂X1= b U/X1 -λP1 = 0
λ= b U/(X1 P1)
と書き換えられます。X2～X4までも同様に書けるので、
b U/(X1 P1)=c U/(X2 P2)=d U/(X3 P3)=e U/(X4 P4)
ここから、
X1 P1/b = X2 P2/c = X3 P3/d = X4 P4/e
がいえるので、X1 P1/b = tとおくと
X1 = t b/P1
X2 = t c/P2
X3 = t d/P3
X4 = t e/P4
とかけるのがわかります。これを
∂L/∂λ=V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4=0
に代入すると (b+c+d+e)t = V となりますから
X1 = V b/(b+c+d+e)P1
X2 = V c/(b+c+d+e)P1
X3 = V d/(b+c+d+e)P1
X4 = V e/(b+c+d+e)P1
となるのがわかると思います。

お礼

at9_am様

回答ありがとうございます。

>b*A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e / X1 = b U/X1
上の関係を利用して下の結果を導き出すのは面白い導出方法だなと驚きました。
>∂L/∂X1= b U/X1 -λP1 = 0
>λ= b U/(X1 P1)
教えて貰うと「確かに」と思うのですが、自分一人だとなかな気付かないですね…。
頭が固いんだろうなと反省しています。
at9_amさんを見習って頭を柔らかくしたいと思います。

ありがとうございました。