on-off制御の欠点についての数学的な証明

質問

http://www.compoclub.com/products/knowledge/jidou_seigyo/jidou_seigyo2.html
を読み、オーバーシューティングが起こる状況においてはon-off制御ではサイクリングが起こりうることを理解しました。また、オーバーシューティングはセンサーの感知の遅れから来るものだと理解しています。

それに対して制御量を0-1のニ値だけでなく、状態変数に対し連続に[0,1]の中間の値を取る場合には、このようなサイクリングを回避できるのではないかと私は考えています。（比例制御やPID制御とかはまだ解説を読んでいません。）特に、センサーが（例えば）常に1分遅れて感知するようなときに、on-offではこの1分のon/offに相当する分の「動作すきま」で状態変数がずっとサイクルし続けるのに対し、連続的に制御する場合には漸近的にターゲットの状態に収束できるのだと思っています。

おそらく比例制御等はそうした連続的な制御の一種で、制御理論を専攻する方には当然だと思いますし、その分野ではシミュレーションで十分説得的なのだと思います。ただ私は工学一般に門外漢で、かつ数学的な証明を必要としています。そこで、もしも連続的な制御に比べたon-off制御の欠点（上記のオーバーシューティング・サイクリングに限らなくてもよいです）を、何らかの数理的なモデルの中で数学的に証明している教科書があったらお教えください。（連続的な制御による収束も証明が欲しいです。できたら非線形なモデルが好ましいです。またそのようなclaimを証明した論文でも構いません。あと、連続的な制御としては、比例制御やPID制御自体を考えたいのではありません。細かく言うと、センサーに遅れがないときには、リヤプノフ関数を誘導する連続的な制御を考えており、その優位性を証明したいと考えています。）

dynamic system自体は少々勉強しているので（また必要とあれば更に勉強することはいとわないので）、前に最適制御について
Haddard and Chellaboina "Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach"
http://www.amazon.com/dp/0691133298/
は読みやすかったと思い、このようなスタイルで定理・証明があるものを望んでます。（もしかしたらこの本の中にあるかもしれませんが、手元になく、またAmazonで索引を見ても、bang-bang/on-off controlは見当たりませんでした。）

回答No.3

foobar

ON/OFF制御と一口にいっても、Bang-bangのようにOn/OFFの回数の少ないものもあれば、＃２さん回答にあるPWMやスライディングモードで使うような非常に周期の短いもの、とあります。両者で扱いは大きく変わるかと思います。（ON/OFF制御といってもいろんな制御設計がありますし、、）
後者だと、制御対象（やシステム）の時定数に比べてON/OFFの周期が十分短ければ、連続制御と同等な制御特性を実現できるでしょう。

では、Bang-bangが連続制御におとるかというと、必ずしもそうではなくて、操作量に制限がある場合にはBang-bangの方が目標値への到達時間が短くできたかと思います。（到達時間最小の解がBang-bangだったかな。）

利点、欠点を考えるときには、何に着目して（何を重視して）評価するか、というあたりも考える必要がありそうに思います。

また、連続制御だとかならず収束する、というわけでもありません。（発散する場合もあるし、振動が継続する場合もある。）
線形系なら、書籍の安定性に関する部分でこの説明があるかと思います。
非線形なシステムだと、そんなに単純にはならないでしょうが。（非線形なシステムだと、誤差が大きいところでは収束するけど、一定の誤差のところで振動した状態で落ち着く、なんてのもあるようですし。こうなると、そもそも制御における「安定」や「収束」って何だ？という話になりそうに思います。）

回答No.2

noname#252164

制御理論を勉強したのがかなり前なので、用語の使い方が乱暴かもしれませんが、雰囲気で読んでいただけますようお願いします。

さて、まずON-OFF制御という言葉の意味づけを確認したほうがいいとおもいます。
実は出力がONーOFFの2状態しかなくても、効率のいい制御の設計方法はあります。最近のパワーエレクトロニクスで多用されるPWMはスイッチ素子を使いますのでON-OFFの制御しかしません。ですが、性能的にはPID制御などのアナログの制御とまったく同じことが出来ます。

普通ON-OFF制御という場合には、比較的安定な系に「簡易な」制御装置として使用するものを意味します。
ON-OFF制御では過渡応答を考慮しません。(PWM制御は過渡応答をきちんと考慮して設計される)

ですから周波数領域で見ると、”要らん周波数成分が足を引っ張っている”状態です。
系の特性や外乱の種類がわかっていればスイッチ素子の後ろに適切なフィルタを入れて過渡応答を改善すればリンギングやオーバーシュートはかなり軽減できます。(古典制御理理論で制御をするとは必要な過渡応答を持つフィルタを作ることと同義だから当然といえば当然。)

ただ、「簡易な制御」をするのが目的なので、ON-OFF制御できちんと計算されたフィルターを入れることは多くないとおもいます。

時間の遅れ、制御の用語では「むだ時間」がなくても、隠れた状態の変化(エネルギーの蓄積とか)があればオーバーシュートは発生しますよ。

回答No.1

rabbit_cat

on-off制御は数学的には扱いがかなり難しいんで、今現在、統一的な理論がきちんとあるかどうかはかなり怪しいです。ないと言われても全然驚きません。あると言われればそうかな、という気もしますが。
多分、質問者さんもわかっておられるとは思いますが、もし、そういう本があるとすれば、非線形力学系の本を見ていくといいと思います。

＞細かく言うと、センサーに遅れがないときには、リヤプノフ関数を誘導する連続的な制御を考えており、その優位性を証明したいと考えています。
仰る主張をきちんと証明すれば、今でも普通にカオス・非線形力学系の査読雑誌or場合によってはPhysical Reviewなんかに論文が通るのではと思います。