熱力学（圧力と体積が比例して体積膨張）

質問

いつもお世話になっています。
熱力学を独学で勉強していて、勝手に自分で考えているものなのですが、

初期温度・体積をそれぞれT、VとしてVを2Vへ体積膨張させます。
条件はタイトルの通り、圧力∝体積です。
変化後の温度、吸収した熱、仕事、内部エネルギーを考えています。

温度は簡単で、4Tと出ました。
仕事はpV＝nRTより、仕事＝4nRTと出ました。
問題は熱と内部エネルギーで、どうやって出せばいいのか分かりません。等温変化や断熱変化と違って、W＝Qや、Q＝0のような条件がないので、機械的にやろうとすると手が止まってしまいました。
分かる方教えていただけないでしょうか。
お願い致します。

回答No.6

htms42 · ベストアンサー

＃５です。

＃５で「経路が示されていない」とかきましたが誤りです。
申し訳ありません。
２ｐ、２Ｖにばかり目が行っていました。
ｐ＝ｋＶで経路が指定されています。
ｐ－Ｖグラフで直線になります。

Ｗ＝∫[V→V']ｐｄＶ＝∫ｋＶｄＶ＝(1/2)ｋ［Ｖ'^2－Ｖ^2］
　　　　　　　＝(1/2)(Ｐ'Ｖ'－ＰＶ)　
※ｐ－Ｖグラフを書いて台形の面積を求めても構いません。

もしＰ’＝２Ｐ，Ｖ’＝２Ｖであれば　Ｗ＝(3/2)ＰＶ＝(3/2)ｎＲＴです。（仕事は４ｎＲＴではありません。）

温度が４Ｔになりますから△Ｕ＝ｎＣｖ(３Ｔ）です。

この値を求める時にｋの値は必要ありません。
初期状態が決まれば　圧力は体積に比例しているということと温度変化だけでＱは決まります。
ｋの値は温度と体積の初期値から決まります。これは＃３の御回答の中で示されている通りです。

お礼

非常によくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.5

htms42

＃３です。

＞QやWを用いて書けないですよねということでした。

問題は「ＱやＷを求めよ」というものではないですか。
外部から系に与えなければいけない熱量は
Ｑ＝△Ｕ＋Ｗ
△Ｕ：内部エネルギーの増加
Ｗ：系が外部にする仕事
です。

△Ｕは温度変化が決まれば出てきます。
Ｗは経路によって変わってきます。
従って必要な熱量Ｑは経路によって変化します。
この問題では経路が指定されていませんのでＱは決まりません。

＞仰った比熱の値を書いておくべきでした。

比熱の値が必要なのではなくて経路の指定が必要なのです。

体積を２倍、圧力を２倍にすれば温度は４倍です。４Ｔになります。
（Ｐ，Ｖ，Ｔ）→（２Ｐ，Ｖ，２Ｔ）→（２Ｐ，２Ｖ，４Ｔ）
（Ｐ，Ｖ，Ｔ）→（Ｐ，２Ｖ，２Ｔ）→（２Ｐ，２Ｖ，４Ｔ）
のどちらであるかによって必要な仕事が変わることを確めてください。

可能な経路の取り方はいくらでもあります。
（Ｐ，Ｖ，Ｔ）→（４Ｐ、Ｖ，４Ｔ）→（２Ｐ，２Ｖ，４Ｔ）
（Ｐ，Ｖ，Ｔ）→（Ｐ，４Ｖ，４Ｔ）→（２Ｐ，２Ｖ，４Ｔ）
これだと最後の変化が等温変化です。
途中に断熱変化を入れることも可能です。

定積比熱，定圧比熱というのは定積変化、定圧変化であると経路が指定された時に必要な熱量を与えるものです。
モル定積比熱Ｃｖとモル定圧比熱の間にはＣｐ＝Ｃｖ＋Ｒの関係あります。このＲは気体のする仕事から出てきたものです。

回答No.4

rnakamra

#2のものです。
補足に対する回答。

>いまさらなのですが、この質問は定圧比熱や定積比熱の値も
>用意しておかないと記述できないでしょうか。
内部エネルギーを温度の関数として求めるには定積比熱が必要です。
U=∫[0→T]CvdT'
となります。

>仰った仕事の話はよくわかったのですが、kが問題です。
>私が最初にかいた条件だけでは定まらないものでしょうか。

状態方程式がわかっていればkを求めることが出来ます。
理想気体であり、初期状態が(V0,p0,T0)であるなら
p0*V0=nRT0
ですね。
これから、
p0=nRT0/V0
となります。
後はこの式をp0=kV0に代入すると
nRT0/V0=kV0
k=nRT0/(V0)^2
となります。
(変数としてのVと混同しないように添え字をつけました。実際の問題では変数としてのV,pに別の文字(例えばp',V'等)を使うほうが良いかもしれません)

お礼

なるほどそう考えるのですね。
御丁寧にありがとうございました。

回答No.3

htms42

温度一定であれば体積は圧力に反比例します。圧力一定であれば体積は温度に比例します。
圧力を２倍にしているにも関わらず体積が２倍になったというのであれば温度をものすごく高くしなければいけないはずです。
なぜ等温変化や断熱変化と関係づけようとするのでしょう。どちらも使うことが出来ないのは歴然としているはずです。
理想気体の範囲であれば状態方程式で温度が決まります。
内部エネルギーの変化は温度が決まれば出てきます。
必要な熱量は比熱を使えば出てきます。
定圧変化でも定積変化でもありません。必要な熱量は変化の道筋によって変わります。

補足

回答ありがとうございます。
はい、仰っている通りでした。

＞等温変化や断熱変化と関係づけようとするのでしょう
関連づけようとしたのではなく、それらと今回とは違って
QやWを用いて書けないですよねということでした。
仰った比熱の値を書いておくべきでした。

回答No.2

rnakamra

pV=nRTですから、この気体は理想気体と考えてよいのですね。
それなら内部エネルギーは温度に比例します。その比例定数が何であるかは外部から全く仕事を受けない過程、つまり定積過程を考えればわかります。

次に熱ですが、これは仕事と内部エネルギーの変化から計算します。
気になるのは、
>仕事はpV＝nRTより、仕事＝4nRTと出ました。
どのようにして、この値を導出しましたか?どのように考えてもこの値にならないのですが。
仕事は単に
W=-∫[V0→V1]pdV
から求められます。圧力は体積に比例するような過程とのことですからpをVで表現することができます。(p=kV,後はkを求めるだけ)

補足

おくれてすみません。回答ありがとうございます。
いまさらなのですが、この質問は定圧比熱や定積比熱の値も
用意しておかないと記述できないでしょうか。

＞仕事はpV＝nRTより、仕事＝4nRTと出ました。
どのようにして、この値を導出しましたか?どのように考えてもこの値にならないのですが。

Δp×ΔVが仕事だと思ったので単純に入れてしまいました。
pが一定でないのにありえないですよね。すみません。

仰った仕事の話はよくわかったのですが、kが問題です。
私が最初にかいた条件だけでは定まらないものでしょうか。

回答No.1

noname#160321

>pV＝nRT
ｎを一定のままp→2p、V→２Vなら、左辺が四倍になりますからTが四倍になれば良いだけ。もちろんケルビンで測ってですよ。