大阪市立大 2003年数学の過去問です

質問

数学のベクトルの問題です2003年大阪市立大過去問です
解き方を教えてくださいお願いします
空間に4点Ａ（-2，0，0）Ｂ（0，2，0）Ｃ（0，0，2）Ｄ（2，-1，0）がある3点Ａ，Ｂ，Ｃを含む平面をＴとする

1）点Ｄから平面Ｔに下ろした垂線の足Ｈの座標を求めよ 回答Ｈ（1/3，2/3，5/3）

2）平面Ｔにおいて3点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円Ｓの中心の座標と半径を求めよ 回答中心（-2/3，2/3，2/3） 半径2√6/3）

3）点Ｐが円Ｓの周上を動く時ＤＰの長さが最小になるＰの座標をもとめよ 回答（-2＋2√3/3，2/3，2＋2√3/3）

以上よろしくお願いいします。3時間近く取り組んでいますが分りません 助けてください

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

(3)はDP^2＝DH^2＋HP^2から、HPが最小となる点を求めれば
でもいいと思いますが、もうちょっとだけ
同じ平面上の「円周上の点Ｐ」と「円周上にはない定点Ｄ」との距離が最小になるような点Ｐは、作図でも求められますね。円の中心と点Ｄを結んで・・・
計算の手間を考えると、あまり労力は変わらないかもしれませんね。

補足

同じ平面上の「円周上の点Ｐ」と「円周上にはない定点Ｄ」との距離が
最小になるような点Ｐは、作図でも求められますね。円の中心と点Ｄを結んでから、どうすればいいか全くわかりません。
できれば詳しく教えていただきたいんですが・・・

お手数ですがよろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi

検索したら、どこかに解説があるかも・・・

ベクトルにしてもよし、座標をおいて解くのもよし。
1)平面には、「法線ベクトル」がありますよね。
2)円周上の点と中心との関係は？を式にすれば。
3)前の小問1)、2)は、最後の3)への「前ふり」ですね。
図を正確に描けなくとも、平面Ｔとその平面上にある円Ｓ、平面上には「ない」点Ｄの位置関係（垂直となっている個所など）をしっかりつかむことです。

補足

(3)はDP^2＝DH^2＋HP^2から、HPが最小となる点を求めればいいんですか。

回答No.2

KI401

ありきたりな問題ですね。ベクトルで解くのが一般的でしょう。

1) T上の点Pと点Dの距離が最小になるような点PがH
　※Pは、OP→ = OA→ + s * AB→ + t * AC→ と表せる。
2) ABCは正三角形なので、重心と外心が一致
3) DPが最小になるとき、HPも最小(∵三平方の定理)

ちなみに、平面の方程式を用いて、座標で解くことも可能。
T: -x + y + z = 2

回答No.1

33550336

過去問なんだから解説があるよね？
とりあえずまず補足欄にその解説と、その中のどこまでがわかってて
どこがわからないのかを書いてください。

補足

授業での問題の予習なので解説はありません。教科書ややり方を色々試行錯誤していたのですが行きずまりました。解説に出てくる点Oは座標が（0,0,0)のことですよね。