ＬＰＦ・HPFの特性曲線の求め方

質問

LPF・HPFを勉強し始めたのですが、特性曲線の求め方の計算の仕方が分かりません。
LPF・HPF回路は抵抗とコンデンサのみで構成するタイプのものです。
HPFでは特性曲線の関数が ωCR/√1+ω^2・C^2・R^2
LPFでは1/√1+ω^2・C^2・R^2
となるようですがその計算過程が分かりません。
ネットで調べたのですが、複素表示で解説しているものしか見つけられず分かりませんでした。
複素表示を使わない方法で教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.1

sinisorsa · ベストアンサー

このような回路の解析には、フーリエ変換に基づく複素表示が
便利です。電気回路の交流理論はこの立場です。これを使わないとなる
と、直接微分方程式または積分方程式を解かなければなりません。
長くなりますが、ＨＰＦを例に考えましょう。
まず、キャパシタの静電容量をＣ、電荷をＱ、電圧をＶとしますと、
Ｑ＝ＣＶがなりたちますね。
キャパシタに電流ｉが流れ込むと、電荷が増えます。
ｉ＝ｄＱ／ｄｔ
が成り立ちます。ここまでは、復習です。
フィルタの入力電圧をVin，出力電圧をVoとしますと、
Vo＝RdQ/dt = RCd(Vin - Vo)/dt
が成り立ちます。この微分方程式を解きます。または、
これの両辺を積分して、整理して、
Vo + (1/RC)∫Vo dt = Vin
周波数特性を求めるときには、Vinに正弦波を仮定して、
出力Voを求め、Voの振幅/Vinの振幅を各周波数ごとに
求めるわけです。
ここでは、回路の線形性を認めて、入力に正弦波を入れると
出力にも正弦波が出るということを使いましょう。
すると、先に出力Voを与えて、逆にVinを求めましょう。
Vo=sin(ωt)と置きます。Voの積分をして、
sin(ωt)-(1/(ωRC))cos(ωt)=Vin
左辺のsin，cosの係数部を整理すると、
A=√(1+(1/(ωRC)^2))　とおいて、
A・{1/A・sin(ωt)-(1/(ωRC)^2)/A・cos(ωt)}
= A{cosφsin(ωt)-sinφcos(ωt)}
= A sin(ωt - φ)=Vin
Voの振幅は１。　Vinの振幅はAとなるので、
振幅特性　|H（ω)|=1/A
これを整理すれば、質問者の書いた式になります。

初めからフーリエ変換（ラプラス変換Iを利用すれば、もっと簡単に求
められるわけです。複素数表示が便利なわけです。ぜひこれを
勉強してください。

お礼

回答ありがとうございます。
書いてあるとおりに計算して解けました。
複素数表示について詳しく書いてある本などありましたら
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

noname#101087

複素数は禁じ手となると、ベクトル図くらいですかね。
　　　　　　　　　　　　　　↓
　http://denkinyumon.web.fc2.com/denkinokiso/bekutoruzu.html
>ベクトル図の使い方

抵抗とコンデンサを直列にして分圧、という回路ならば、
　　抵抗の両端電圧 R*i と、コンデンサ両端電圧 i/ωC のベクトルが直角をなす
電圧和(絶対値)Vi は「ピタゴラス」で。

　　Vi = i*SQRT{R^2 + 1/(ωC)^2} = (i/ωC)*SQRT{(RωC)^2 + 1}

抵抗またはコンデンサの両端電圧を Vi で割れば、電圧伝送比になります。

お礼

回答ありがとうございます。
図で考えるととても簡単に理解できました。

回答No.4

noname#101199

私は一応回路も習ったのですが、どちらかというと機械系なので参考程度です。

私も、電気回路の本を読むのがいいかと思います。
電気回路の教科書が全然わからなかった時に、
『図解 はじめて学ぶ電気回路』
というもので教科書を補いながら読みました。
結構わかりやすかったので、まったくの初心者ならとっつきやすいかもしれません。
内容はめっっっちゃ簡単なものしか載っていないし、簡単に書いてあるので、電気系の方には怒られてしまうかもしれません^^;

お礼

大きな本屋で電気回路関係の本を探して勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

sinisorsa

大学の電気工学科や電子工学科等の電気回路学では、
交流理論として、複素表示による回路解析を行います。
最近の教科書を余り見ていないので、よいものを
推薦する自信はありませんが、たとえば、

電気回路
（series電気・電子・情報系　8）
（ISBN 4-320-08583-3）
森　真作　著
A5判，168頁，2600円
共立出版

中身は見ていませんが、見識の高い先生の教科書です。

そのほか、電気回路とか電気回路学というタイトルの本を
本屋さんで手にとってみていただくのがよいと思います。

お礼

大きな本屋で電気回路関係の本を探して勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#101199

とりあえずその特性曲線の関数は、周波数伝達関数のゲインでしょう。
その回路の出力電圧V_outと、入力電圧V_inの関係を表しています。

まずは、キルヒホッフの微分方程式（回路方程式）を書いてください。
（V_outとV_inの関係式）

その後それをラプラス変換して代数方程式にします。
それから伝達関数G(s)=V_out/V_inを求めます。（ラプラス領域の式です）
そのsにjωを代入すれば周波数伝達関数が求まります。
複素数ですから、ゲインと位相にわけて考えます。
このゲインが、ご質問の関数となっています。

電気回路をやっていれば、フェーザを使えばVoutとVinの関係がいきなり代数方程式で記述でき、簡単です。

ともかく、ご質問の関数を|G(jω)|とおけば、|G(jω)|=|Vout|/|Vin|の関係が成り立っています。
つまり、|V_out|=|G(jω)|*|V_in|
ですから、特性曲線の関数|G(jω)|の値が低くなれば低くなるほど、出力が出てこなくなってしまいます。

お礼

回答ありがとうございます。
ラプラス変換やフェーザなどは初めて聴く言葉でした。
新たに勉強しようと思います。
そこで新たに質問なのですが交流を複素数で考える方法を
詳しく解説しているよい本などは無いでしょうか？