【数学】数学者（先生）の問題を解く際の思考過程

質問

現在高校生のものです。
いつも疑問に思うのですが、数学の問題を解くとき、数学に詳しい方（先生、数学者など）はどのような思考過程で問題を解くのでしょうか？

皆さんは教科書レベルの問題なら楽勝だと思います。というよりは解き飽きたくらいではないのでしょうか？ですが難関大入試問題などの問題を解くときはいくら詳しいといえども楽勝とまではいかないですよね。きっと皆さんでも答えにたどり着くまでに考えに考えると思います。どうやってその答えまで導くのか、僕はその「考えに考え」た過程を知りたいのです。「●を求めろ」という問題なら、頭の中で『●を求めるには△が必要で、△にするにはこの式がこうなる必要があり・・・』と論理的に考えていたりするのでしょうか？

きっとその思考過程は生徒と先生では大違いのような気がします。（何の根拠もないのですが。）

皆さん一人一人、どのような数学の問題でもそれを解決するために行う共通の思考過程があると思います。個人で違うとは思いますが、その共通の思考過程を教えていただきたいです。
（教えてもらったからといってそれを真似したりするわけではなく、あくまでもどのような考え方かを純粋に知りたいだけです）

回答No.7

Knotopolog · ベストアンサー

●「数学の問題を解く」ための「共通の思考過程」は「知識の組み合わせ」です．

「数学の問題」が与えられたとき，その問題を解くためには，どの知識とどの知識を
組み合わせれば解けるかを探る思考過程が「数学の問題を解く」ということです．
ですから，問題を解くには，「知識」を積み上げること，「知識と知識の組み合わせ」
の仕方を沢山覚えること．これにつきるでしょう．
学校の先生も塾の講師もその「知識量」と「経験量(知識と知識の組み合わせ方)」で
「数学の問題」を解いています．これは「必ず解ける」という前提がある問題の場合です．

数学者が問題を解くときには，本質的に上記と異なります．どこが異なるかというと，
「知識」を創造して行かなければならないからです．
「数学の問題を解く」ために「知識と知識の組み合わせ」を探すのには変わりはありませんが，
既成の「知識」では足りない場合が殆どだからです．
「知識と知識の組み合わせ」も既成の組み合わせでなく，新しい組み合わせを作らなければ，
問題は解けません．学校の先生と数学者では，ここが違います．
かつて，フランスの数学者，アンリ・ポアンカレは，問題が解けずに悩んでいるとき，
旅行の途中で，馬車に乗ろうとしてあぶみに足を掛けた瞬間，ある「ヒラメキ」が湧いて
問題が解けたといいます．これも，互いに関係がないので，今まで気が付かなかった
２つの数学概念の「組み合わせ」に気が付いたためです．
一般には「知識の組み合わせ」に用いる「知識」は，「数学的な知識」だけでなく，
「数学以外の知識」も必要です．

回答No.8

Ishiwara

昔読んだ本ですが、Polyaという人の著書で "How to solve it?" と "Induction and Analogy" (ちょっとウロ覚えですみません) には感銘を受けました。日本語訳もあるはずです。検索してください。

回答No.6

Ama430

こういうものには普遍的な答えはないと思いますが、例えば

(1)文字の種類が多いときには１種類だけに着目して整理
(2)文字や角度に極端な値を代入してみる
(3)「２点で直線が決まる」「３点で平面が決まる」「ｎ元連立方程式にはｎ個の方程式が必要」など初歩的な条件から解答方針を決める
(4)問題が難しすぎると感じたら全く別の角度からアプローチ
(5)より高度な数学定理で解答を予測してから取りかかる(反則っぽい)

などでしょうか。

回答No.5

rabbit_cat

学者が研究するようなホントに難しい問題となると、実際には、発見的に突然ひらめいたあとで、後付けで論理を肉付けする、ってことがほとんどだと思います。なぜ、ひらめいたか、は後付で説明することはいくらでもできるでしょうが、本当のところは「なんとなくひらめいたから」としかいいようがないと思います。

ただ、高校生とのことなんで、大学入試の数学の問題ということでいえば、東大京大等を含めて、言っては悪いですが、ほぼ暗記というか、似た問題を思い出して、そのままなぞってるだけだと思われます。暗記という言葉が悪ければ「慣れ」でしょうか。もちろん問題ごとにちょっと工夫しないといけない点はあったりするかもしれませんが。というか、そもそも、入試ではその場でひらめている時間はないわけで、見た瞬間に似たパターンの問題を思い出して、ただ作業として解くだけです。

回答No.4

se-ichi06

学生時代の応用数学（応用物理）の先生が、よく学生に言ってた事があります。
それは、判らないときはグラフや数直線を使って考えてみなさいと。
講義内容にもよくグラフや数直線が登場しましたし、３次元の場合はＣＧシミュレーションの図も使っていました。

思考過程の１つに図で考えると言う技が身に付きました。

回答No.3

yamori2009

僕（大学2年生）の場合、いままで解けた問題のほとんどすべては論理的に考えてそれを解きました。
ただ、どこまでを論理的というかについては人によって違うと思います。知識的バックグラウンドがある場合、「こういう問題はあの時解いた、ならばそれと同じ方法を試してみよう」というようなことも十分論理的と言えるでしょう。
おそらく「天才」と呼ばれる数学者は別にして（あるいはそれすらも）ほとんどの人は論理的に考えて数学を解くと思います。数学が苦手な人は、単に知識がないにすぎません（解こうとしても、解けないのであれば）。
ここでいう知識とは、単にデータとして問題量を多くこなしたというわけではないでしょう。「こういう問題はあの時解いた」というのも、「自分が解いている問題が、過去に解いたことのある問題に似ている」ということに気づくことが必須であり、このことは知識というものが先に言ったデータのもっとメタ的なものでもあるということを示唆します。
なので、知識量というのは、やった問題数が同じでも人によって差が出ることが十分にあります。
というわけで、僕は数学の問題を解くときの共通の思考は最も広い意味で論理的に考えることだと思います。
実のところ、それ以外の方法で解く方法を思いつきません。もし何かの問題を解くとき、その問題の解く方法を思いついたとしたら、その思いつきがどのような僕の知識をバックグラウンドにしているかを言葉で説明できると思います。そしてそれは、僕にとって論理的であると考えざるをえないからです。

回答No.2

kabaokaba

人それぞれ千差万別かと．
ということで，私の場合

(1)具体例で実験
問題に変数が多ければ，
極端な値（1とか0とか簡単になりそうな値）で処理
変数を減らすという意味もある

(2)逆の過程を追う
これは質問者氏が書いている
『●を求めるには△が必要で、△にするにはこの式がこうなる必要があり・・・』こと．
ただし「できるだけ都合がよくなるよう」に意識して
逆の過程を想定する．

(3)神の啓示(笑)
同じ問題を長く考えていると，いきなり閃くことがある．
試験にはまったく向かない(笑)

(4)寝る・飯を食う・遊ぶ・風呂に入る
いわゆる気分転換という名の現実逃避．
これも試験向きではないけど，(3)を誘発するのに結構有効．
経験上では思考を問題から
完璧に乖離させてはいけない．

(5)問題を精査する
問題をあえて図で示したり，記号化してみたりして
問題そのものの構造を考える．
そうすることで，一見関係ない分野にあるものが
実は有用だったりするのが見えたりする．
これは(1)とは逆に問題を抽象化したり一般化する
ことにつながります．
抽象化することで逆に解けることもあります．

共通するのは，とにかく手か頭，もしくは両方を動かすこと．
とくに「実際に手を動かして計算する・図を書く」のは
重要です．

回答No.1

koko_u_u

他の人のコトは知らんので、私見で。

>「●を求めろ」という問題なら、頭の中で『●を求めるには△が必要で、
> △にするにはこの式がこうなる必要があり・・・』と論理的に考えて
> いたりするのでしょうか？

いいえ、そのように「論理的に」考えられるのは単純な問題だけです。

まったく未知の問題に取り組む場合は、いろいろ思考を巡らすより他ありません。
よくやることを思い付くままに書くと

・類似の問題を探す
　試験では使えませんが、普通は手元に参考書や教科書がころがっているので
　そこに「似たような」問題がないか探し、その解法が現在の問題にも適用できないか
　考える。

・具体的な場合について考える
　何かが一般的に成り立つことを証明する前段階として、特殊な場合にその命題が
　成立するかを考え、証明する。
　特殊な場合の証明が、一般の場合に適用できないか、適用できないとすればそれは
　なぜかを考える

・問題を一般化する
　逆に特殊な状況が問題の理解を妨げている場合があるので、一般化することで
　問題の本質を探ろうと試行錯誤する。
　問題を一般化すると「よく知られた」定理がそのまま使えることがある

・その問題から帰結されることを考える
　その命題が正しいとすると、そこから更に演繹されて得られる結論を考える。
　命題を「活用」することで、その問題への理解を深める。
　演繹された結論から、逆に元々の命題が得られることもあり、その演繹された結論は
　「既に知っている」事柄である場合もある。

解答欄が「論理的に」見えても、その思考は論理的ではないし、ましてや一本道でもありません。
いろいろ発想を飛躍させつつ、そのギャップを後付けで埋めるような感じです。