極限の問題

質問

下の極限(数III)の問題がわからずに困っています

lim(x→∞)　(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)・・・(1-1/n^2)
順列の問題でもないのでどう解いていけばいいかわかりません

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> lim(x→∞)　(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)・・・(1-1/n^2)

lim(n → ∞){ (1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)……(1 - 1/n^2) }でしょうか？
そうだと仮定して話をすすめます。

(1 - 1/n^2) = a_nとおきます。
この時、
(a_n){ a_(n+1) }がどうなるか？
(a_n){ a_(n+1) }{ a_(n+2) }がどうなるか？
ということを確認してみてください。

a_n = (1 - 1/n^2)の形のままだと分かりづらいかもしれませんが、
この式を変形してから (a_n){ a_(n+1) }や(a_n){ a_(n+1) }{ a_(n+2) }を考えると、
これらになんらかの規則性が見えてくると思います。
それを踏まえた上でlim(n → ∞){ (a_1)(a_2)……(a_n) }
(つまりlim(n → ∞){ (1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)……(1 - 1/n^2) })
を考えると良いと思います。

お礼

＞lim(n → ∞){ (1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)……(1 - 1/n^2) }でしょう＞か？そうだと仮定して話をすすめます

その通りです。

a_n=1-1/n^2={(n-1)(n+1)}/n^2と式を変形することにより
K=2,n以外の数が約分され、極限を求めることができましたありがとうございます。

回答No.2

arrysthmia

1 - 1/k~2 = (k-1)(k+1)/k~2

k = 2 ～ n で掛け合わすと、何か約分される。

お礼

1-1/k^2の式の変形の仕方を教えてもらって
解くことができました。ありがとうございます。