数学の場合の数です。ほかの回答方法はあるのでしょうか。

質問

問題は、６個の異なる品物を区別のつかない4つの袋にいれる。空の袋があってもよければ何通りの入れ方があるか。です。
解説では、ひとつの袋に入る場合（１通り）、２つの袋に入る場合（袋をA、Bとしたあと区別を取る）、３つ以上の袋に入る場合（袋をA、B、C、Dにし、（全体）ー（ひとつの袋に入る場合と二つの袋に入る場合））に分けて最後に足すというものです。

ほかの回答法はあるのでしょうか。他のやり方をご存知のかたがいらっしゃいましたら、ご回答お願いします。

回答No.2

ZeusSeesSuez · ベストアンサー

袋に名前をつけない方法を示します。

まず、６個の品物を袋に入れる方法は、下記の９通りありますから、
それぞれの場合の数を足しあげれば答えになります。
[６個]→6Ｃ6…１通り
[５個/１個]→6Ｃ5×1Ｃ1…６通り
[４個/２個]→6Ｃ4×2Ｃ2…15通り
[４個/１個/１個]→6Ｃ4×(2Ｃ1×1Ｃ1)/2!…15通り
[３個/３個]→(6Ｃ3×3Ｃ3)/2!…10通り
[３個/２個/１個]→6Ｃ3×3Ｃ2×1Ｃ1…60通り
[３個/１個/１個/１個]→6Ｃ3×(3Ｃ1×2Ｃ1×1Ｃ1)/3!…20通り
[２個/２個/２個]→(6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2)/3!…15通り
[２個/２個/１個/１個]→(6Ｃ2×4Ｃ2)/2!×(2Ｃ1×1Ｃ1)/2!…45通り

なお、同じ数の袋がｎ個ある場合は、重複を排除するためにn!で割る必要があります。

お礼

とてもわかりやすかったです。
ご回答ありがとうございます。

回答No.1

rnakamra

品物にN1,N2,..,N6と名前をつけます。
袋にA,B,C,Dと名前をつけます。

まず、N1をAに入れます。
N2からは次の方法で袋に入れていきます。
・袋Aのみに品物が入っている場合にはA又はBに入れる。
・袋A,Bのみに品物が入っている場合にはA,B,Cのいずれかに入れる。
・3個以上の袋に品物が入っている場合にはA,B,C,Dのいずれかに品物を入れる。

順番に入れていく場合の袋の順番を固定してしまうことが要諦です。
この方法で全ての入れ方をカウントできるはずです。
品物の数がふえても、品物が入っている袋の数毎の場合の数の漸化式が簡単に求まるためそんなに計算は難しくないと思います。

(漸化式)
n個の品物を入れたとき、
Aだけに品物が入っている場合の数をa_n
AとBだけに品物が入っている場合の数をb_n
A,B,Cだけに品物が入っている場合の数をc_n
全ての袋に品物が入っている場合の数をd_n
とすると、
a_n=1 (一つの袋に全て入れるとおりの数は当然1通りしかない)
b_n+1=a_n+2*b_n (なぜかは自分で考えてください)
以下略。
となります。n=1の値はわかるでしょうから割愛。
最後にそれらを全て足す。

お礼

ご回答ありがとうございます。