フーリエ変換・逆変換の虚数成分って？

質問

フーリエ変換を用いた論文を読んでいるときに、ある3次元関数f(x,y,z)に対してフーリエ変換・逆変換を行ったとき、逆変換で求められる値は実数成分と虚数成分があり、虚数成分を無視できるという記述を見つけました。
これは対象の関数が実数成分しかもともと持ち合わせていなかったで逆変換しても虚数はゼロである、という解釈でいいのでしょうか？

正直、フーリエ変換・逆変換に関してはほとんど初心者なのですが、気になってしまっています。誰かこの疑問に答えていただけないでしょうか？

回答No.2

reiman · ベストアンサー

1次元と3次元の本質的な違いは無いので1次元で考えればよい。
以下jは電気工学の記法を採用し虚数単位とする。
sin(2πξt)≡(exp(j2πξt)-exp(-j2πξt))/2/j
をフーリエ変換すると
(δ(f-ξ)-δ(f+ξ))/(2j)
となる。
これは実部0で虚部が(δ(f-ξ)-δ(f+ξ))/2であるから
虚部を0とすると逆変換も0となり大変なことになる。
つまりその論文で説明をしている著者は
フーリエ変換について不勉強ということである。
その論文は捨ててまともな論文を勉強するべきということになる。

補足

う～ん、そうなりますか^^；
自身の勉強不足がやっぱり問題ですね。
ありがとうございます。自身でもう少し勉強して、他の論文を見つけます。

回答No.3

reiman

質問をよく読まないで解答したので修正

フーリエ変換の虚部を無視するのではなく
実関数のフーリエ変換の逆変換の虚部を無視するということでしたね。
そうならば

超関数空間では
関数のフーリエ変換のフーリエ逆変換はその関数になる

というフーリエの反転公式が成立するので
その関数が実であれば当然虚はでてこないのでそのとおりである。

回答No.1

gef00675

問題点がいまひとつわかりかねますが、fを変換して逆変換したのだから、元の関数に戻ってきただけ、ということはないでしょうか。だとすると、虚数部分が出てきたのは単なる計算の誤差ということになります。
そうでないとすると。。。
簡単のため、１変数の関数f(x)で考えると、f(x)は偶関数と奇関数の和で表せます。
f(x)=(f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2
複素フーリエ変換の実数部分は、cosによる変換だから、元の関数の偶関数部分の変換であり、虚数部分はsinによる変換だから、奇関数部分になります。虚数部分が無視できるほど小さいということは、元の関数の奇関数部分が偶関数部分に比べて小さいということになります。変数が３つになっても同じです。
少なくとも、元の関数が実数成分しか持たないから、変換後の関数も実数部分だけとはいえません。

お礼

なるほど。今まですごい勘違いをしてました。
ありがとうございます。