ホワイトノイズのスペクトル分布

質問

ホワイトノイズを１回実計測したとき、そのパワースペクトルはバラつきますが、
その確率分布はどのような分布になるのでしょうか？
一見するとポアソン分布やカイ自乗分布、対数分布のような形をしていますが、
いったい何の分布関数に従うと考えれば良いのでしょうか？

ご教示いただけると幸いです、よろしくお願いします。

回答No.3

imoriimori · ベストアンサー

ああそういうことですか。強度（振幅）のヒストグラムの形ですね。
レーレー（Rayleigh）分布になるのではないかと思って試してみると、良く合います。他は試していませんが。
なんでレーレー（Rayleigh）分布かは勘でして、正しくないかも知れません。勘というのは、なんとなく酔歩問題に似てるかな、と思っただけです。正しければ理論的裏付けもどこかで見つかるんじゃないかと思いますが。。。。

お礼

回答番号：No.5でレスさせていただきました。

回答No.6

imoriimori

#1,3,5です。ではこれが最後と言うことで。

Raileigh分布は、もともとはレーレーが次の問題を分析したことに発しています。酔歩問題といいます。
酔っぱらいがいて、一歩一歩の歩幅も方向もランダムである。ある時間経過したとき、酔っぱらいはスタート地点からどの距離にいるか、その確率。
拡散現象の式なんかにも出てきます。

英語wikiの読み方は間違えていません。

実数の白色雑音があって、そのフーリエ変換の実部と虚部とではヒストグラムの幅が大きく違っていたということですか？
そんなことが現実にあり得るのかなあ、理屈の上ではありえない、という気もするのですが、済みません、ちょっとわかりません。
そんな場合にどうしたらよいのかも、わかりません。概略としてはレーレー分布からほど遠くなり、極端に実部虚部がアンバランスだとガウシアンの右半分だけの形に近づきます。

お礼

何度もありがとうございました。
レーレー分布、およびそれとカイ分布との関係を知れただけでも勉強になりました。

この度は私の日本語がとんでもないことになっており、
たくさんの方にスルーされてしまっている可能性もあるので、
また後日同じようなスレッドを立ててしまうかも知れません。
その際はこのスレにリンクさせていただきたいと思います。
またよろしくお願いいたします。

回答No.5

imoriimori

#1,#3です。
＃４様コメントを見て、混乱を避けるために注釈します。あとちょっと＃３が親切ではなかったかとも思って補足。
＃３の図のヒストグラムは、白色雑音の数値列をフーリエ変換し、その絶対値のヒストグラム。横軸が絶対値つまりスペクトル面での強度。縦軸が頻度。
＃３の曲線は、レーレー分布です。
レーレー分布は x Exp[-x^2/( 2σ^2）]の形をしています。
レーレー分布の平均値はSqrt[π/2]σとなります。
ヒストグラムの平均値μを数値的に算出し、σ＝μ* Sqrt[2/π]としてレーレー分布の曲線を描いたわけです。

＃４様コメントに関して言えば、白色雑音とはスペクトル面で白色ということであって、それを実空間で言えばデータ点同士の間に統計的相関がないということであって、実空間での確率密度関数の話ではありません。
実空間の雑音振幅の確率密度関数がガウシアンであっても矩形であっても、白色雑音である限り、上記のようなスペクトル強度分布とレーレー分布との一致は得られます（一応テストしました）。

お礼

シミュレーションまでしていただいたようで、誠にありがとうございます。
レイリー分布なるものがあるのですか。レイリー・ジーンズの式とはまた違うようですね。
このレーレー分布とは、どのような現象に基づいた分布なのでしょうか。

英語版wikipediaを見たところ、ランダムな複素数の実部虚部がガウシアンに従うとき、
その複素数の絶対値がレーレー分布に従う、ということが書いてあるようなのですが、
前提条件として「ガウシアンの分散が等しいとき」というのも書いてあるようです。
（英語は苦手なので読み違えているかもしれません）

以前実際に、実部虚部がガウシアンなのか見てみたとき、
それぞれの分散の値は大きく違っていたように記憶しています。
分散が異なる場合はどうすれば良いのでしょうか。

回答No.4

porepore47

理論上のホワイトノイズは、振幅のヒストグラムではガウシアンになります。

お礼

レスありがとうございます。
私の質問しているのはパワースペクトル（または振幅スペクトル）の強度の頻度分布です。
時系列データの強度分布のことではないことを御承知いただければ幸いです。

回答No.2

porepore47

強度分布とパワースペクトルがごっちゃになっていませんか？

補足

すみません、日本語に不備がありました。
おっしゃる通り、スペクトルの「強度の分布」を考えているつもりです。
この日本語では「スペクトルの分布」と捉えられて当然ですね。申し訳ございません。

スペクトルの「強度の分布」はどんな形になるべきなのでしょうか？

回答No.1

imoriimori

ホワイトノイズのパワースペクトルが「一見するとポアソン分布やカイ自乗分布、対数分布のような形」をするとは理解不能ですが。
それらは全て横軸左端（つまり直流部）が０でそこから高周波になるにつれ一端ヒストグラムが上がり、さらに高周波でまた０へ近づくという形ですよね。白色雑音の定義からして、いくらばらつきがあるにせよ、そういう測定結果になるのは白色雑音とは言えないはずです。

定義からして、白色雑音のスペクトルはフラットな分布です。現実の雑音は白色とは言っても自ずから高周波域についてはなんらかの減衰メカニズムがあってフラットにはなりません。でも、低周波域ですらフラットからほど遠いというのは、ほんとに白色雑音を扱っているのか疑問です。

お礼

申し訳ありません。
他の方の御指摘にある通り、私の言葉が悪く誤解を与えてしまいました。
にも関わらず、丁寧な御回答誠にありがとうございます。

私の意図していたことは、スペクトルの「強度の分布」のことです。
つまりスペクトル強度を横軸に取り、ある強度が出現する頻度を縦軸に取った頻度分布が、
理論的にどのような分布関数に従うのか、という意味で質問したつもりでした。

情けない日本語を書いてしまい申し訳ございません。
また御教示いただければ幸いです。よろしくお願いします。