X線CTでのフーリエ変換の必要性が分かりません

質問

X線CTに興味を持っています。ウィッキペディアで調べてみたのですが、良く分からず質問するに至りました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/CT
より。
”つまりCTで元となるデータは、物体に360度から照射したX線が、それぞれの方向ではどの程度吸収されたかを示す度合いである。”
は当然のことながら理解できます。その後
”CT装置は、データをもとにコンピュータで画像をフーリエ変換で再構成する。”
とあります。何のためにフーリエ変換をするのでしょう。フーリエ変換は”関数をその周波成分の連続スペクトルに分解する”作業ですよね。何故必要なのでしょう？
また、その後の解説の
”1断面を格子状に分割し、各部位の吸収率を未知数とし、その合計が実際の吸収量と等しくなるように連立方程式を立て、これを解くのである。巨大な行列演算である。”
とあるのですが。ここも良く理解できていません。一度大学で習ってその時は納得したはずなのですが、教科書もノートも無くなってしまって分かりません。分かる範囲で結構ですのでよろしくお願いします。

回答No.2

imoriimori · ベストアンサー

（１）”CT装置は、データをもとにコンピュータで画像をフーリエ変換で再構成する。”
どうしてもフーリエ変換を使って再構成しないといけないわけではありません。フーリエ変換は本質ではないので、フーリエ変換を一切入れずに画像再構成を行うことは可能ですし、実際にそうされる場合もあります。
フーリエ変換が出てくるのは、ある種の側面の説明に都合がよかったりするからです。データ処理の過程にフィルタリングが混じるのですが、このフィルタリングの説明にフーリエ変換が用いられると理論がちょっとスマートになります。また、計算の実行にもフーリエ変換が入ってくると能率が上がるので、普通はそうします。

（２）”1断面を格子状に分割し、各部位の吸収率を未知数とし、その合計が実際の吸収量と等しくなるように連立方程式を立て、これを解くのである。巨大な行列演算である。”
それはもののたとえで、実際にそんな無茶なことはしません。原理的に解けない連立方程式になりますから（例えば未知数の数と方程式の数とが違うと解けない）。

（３）＃１様のURLは、投影データ（観測データ）がどういう式で表現されるかであり、投影データから画像がどういうふうに復元できるかを示しているのではありません。

（４）画像再構成原理を勉強しようと思ったら、このような質問コーナーでは無理です。簡易に書いたものだったら、診療放射線技師向けや医者向けの教科書や参考書があります。ただし、十分正しいとは言えなかったり、ひどく省略が入ったり、といってちゃんとしたものは難しかったりで、あえて紹介はしません。本気で学ぶなら次のようなものがあります。
（あ）"Computed Tomography: Principles, Design, Artifacts, and Recent Advances", Jiang Hsieh, SPIE Press, 基本から説明,
比較的平易。最新状況を含む。
（い）"画像処理アルゴリズム",　斎藤恒雄,　近代科学社
３次元再構成まで含む。数学力を要し手強い
（う）"Principles of Computerized Tomographic Imaging", A.Kak et.al., SIAM press　　古典的な再構成理論の基礎をがっちり固めたいとき。
インターネットで無料公開→http://www.slaney.org/pct/pct-toc.html

（５）フーリエ変換の数式なんてどうでもよいのです。関数をその周波成分の連続スペクトルに分解する”という理解レベルで前出書籍に取り組むことはできます。

お礼

おお。神のご光臨だ・・・。

っすいません。つい。まさか専門家の方から意見をいただけると思っていなかったので・・・。

＞（１）
そうですよね。私も、フーリエは道具で使わなくても出来るよな。って思ってたんですよ。やはり、都合が良いから使うのですね。

＞（２）
ですよね。こんな難しい話では無かった記憶があります。もっと、スマートな方式だったと思います。
＞例えば未知数の数と方程式の数とが違うと解けない
はバカの私でも理解できました。分かり易いです。

＞（３）

ご指摘ありがとうございます。そうなのですね。どうりで読んでも理解できないわけだ。って英語の訳しかしていませんが。数式にはついていけなかった・・・。

＞（４）

そうですか。しょぼん。でも回答者様のお陰で大分、クリーンになりました。幸い時間もあるので（お金はない）、（う）に取り合えず取り組んでみたいと思います。でも、また英語なのですね。私の頭から湯気が・・・。

＞（５）

そうですね。自分で泥沼にはまるところでした。工学部、専攻は人間工学をやってきたので工学部魂に火が付いて徒労に終わるところでした。

詳しく分かり易い説明。更に文献の紹介など、お礼をしてもし尽くせません。まさか、こんな方に出会えるなんて思ってもみませんでした。貴重なお時間を頂きありがとうございました。勉強して画像再構成原理を突き止めたいと思います。

回答No.4

imoriimori

＃２，＃３です。良い資料を思い出しました。
コロナ社　（ヘルスプロフェッショナルのためのテクニカルサポートシリーズ５）　医用機器II \2700　pp27-31
を見てください。
残念ながら普通の図書館には無いかと思います。通販では買えるはずですが。
診療放射線技師向けや医者向けの教科書や参考書にはちゃんとしたものがないと書きましたが、これはフーリエ変換なんか使わずに直感的に正しく理解できるように書かれています。これが最初のステップとして手頃でしょう。

お礼

度々ありがとうございます。お金さえあれば買いたい所なのですが、上記にもあるように病気を持っておりまして、現在の病状では買う資金力がありません。
お金が貯まったら是非買ってみたいと思います。ありがとうございました。
貴方様へのお礼はしても、し尽くせません。（涙）
最後にですが、ここまでして頂いたお礼と言っては何ですが、私の病名は躁鬱病です。（別に知りたくないか（笑））（詳しく知りたければ以下参）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%A5%B5%E6%80%A7%E9%9A%9C%E5%AE%B3
鬱と違って一生治らない病気です。今は若干躁状態（躁：凄くハイ）のため、良く動けます。
病気に関する資料は図書館にあるたけ読みつくしました。ネットでも友達同士で頻繁に情報の交換をしています。そのため、医師と互角にやりあえるだけの知識を身に着ける事が出来ました。今では、私から医師に薬の提言をして、医師が助言をして薬の決定という流れで診察を受けています。
質問者様ならば大丈夫だと思いますが、もしも、鬱かな？と思ったときは教えてgooを利用されると良いと思います。あと、下記URLで簡単にチェックできます。
http://www.jtu-net.or.jp/cgi-bin/selfcheck/e-selfcheck.cgi

回答No.3

imoriimori

＃２です。
あまりいい加減なのは紹介せずに、ちゃんとしたものを３つ紹介したのですが、ちゃんとしすぎていて本気で取り組まないとしんどいです。
もうちょっと簡単な二件を次のＵＲＬで紹介します。片方はごく簡単なもの。もう一つは書籍よりは簡潔に述べているが割とちゃんとしているもの。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1215865.html
http://www.engineering.uiowa.edu/~bme060/Lecture/CTNotes.pdf

残念ながら、どれも数式ベースです。直観で捉えやすいような説明ではありません。直感的把握というのは可能なんですけど、良い資料が見つかりません。

お礼

ありがとうございます（号泣）。私のためにここまで・・・。
本当は、昨日もう締め切ってポイント付与しようと思ったのですが、とっておいて良かったです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1215865.html
で大分理解できました。大学の講義も同様のことをやっていたと記憶しています。頑張れば理解できると思います。また、
http://www.engineering.uiowa.edu/~bme060/Lecture/CTNotes.pdf
も図が交えてあって分かり易いと思いました。ありがとうございます。何か送って差し上げたいところですが、住所も分からないし、お金もありません。
私、実は病気を持っておりまして現在無職です。私の回答履歴を見てくれれば分かると思いますが、鬱にかけてはそこら辺の医者と対等にやりあえるくらいの知識は身に着けております。
貴方様へのご恩は、自分の出来る限りの方面での（メンヘルでの）サポートをすることで返したいと思います。
本当にありがとうございました。
実は、このCTに興味を持ったのも、私の知人の母親が東京でCTを受ける。何でかね？という事を聞かれたので、「それはきっとX線CTではなくPET、やSPECT、MRIとかの専門の検査をやるのだよ。」と言う事で、では。とCTについてまとめました（A4で計7枚）。しかし、説明するにあたり自分で良く理解できてないな、と思い質問するに至ったのです。
教えてgooって素晴らしいシステムですよね。
たまに醜いバトルとかも見かけるけど・・・。
ちなみに
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1215865.html
の回答者様ですが、私知っていました。
http://okwave.jp/qa32670.html?ans_count_asc=1
で回答しています。書き方も似ているし見たことある名前だな。と思って調べてみるとやはり！！と。
最後にですが、私は上記”あり”の質問に対し現在
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4484766.html
のような質問をしています。回答待ち中です・・・。

回答No.1

rabbit_cat

「ＣＴの再構成」とかで検索すると、でてくるかも。
wikipediaのページだと、これとか。
http://en.wikipedia.org/wiki/Tomographic_reconstruction
そんなに難しい理論ではないです。

お礼

折角回答いただいたのにすみません。わっ。分かりません。良く考えたら、フーリエ変換も怪しいなと自分で思ったので、”なっとくするフーリエ変換”
http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_gw?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Daps&field-keywords=%82%C8%82%C1%82%C6%82%AD%82%B7%82%E9%83t%81%5B%83%8A%83G%95%CF%8A%B7
（大学時代に習ったやつ）を読み始めたのですが・・・。私の頭の中は高校レベルに戻っています。しょっぱなのフーリエ級数
f(x)=a0/2+Σ(n=1→∞)(an cos nx+bn sin nx)
のa0,an,bnの証明段階でつまづいています・・・。大学出たのに。しかも院まで・・・。はっ。恥ずかしい。

補足

回答ありがとうございます。

うっ。英文ですね。大学時代ぶりだ。頑張って、読んでみます。