金属の反射率の求め方

質問

金属の反射率を求めたいのですが、金属以外（たとえばガラスと空気）の場合はスネルの法則により光の入射角とそれぞれの屈折率がわかれば反射率を求めることができます。
金属の場合は屈折率は複素数であるため、スネルの法則で透過角を求めるときにasinの中に複素数が存在して求めることができないと思って悩んでいるのですが、考え方自体間違っているのでしょうか？
どうか光学のすばらしい知識をお持ちの方に回答していただけたらと思っています。よろしくお願いします。

回答No.1

walkingdic · ベストアンサー

まず少し勘違いをされているようです。

＞金属の反射率を求めたいのですが
ということですが、このときに、

＞スネルの法則により光の入射角とそれぞれの屈折率がわかれば反射率を求めることができます。

スネルの法則は使いませんよ。スネルの法則というのは、屈折角を求めるときに使うものです。今回は表面の反射ですからスネルの法則はそもそも出てきません。
金属であろうと透明な媒質（ガラスなど）であろと同じです。

で、多分ご質問者が適用しようと考えている公式はフレネルの公式ではないかと思われます。フレネルの公式では、透過光も含めた式になっていて、透過光の屈折角が必要な形式になっていることがありますので。

ただ基本的に反射光強度を知りたいのであれば別に透過光は関係ないのですから、透過光の角度など知る必要などないのです。

簡単に書くと、ある角度θにて複素屈折率ｎの媒質から複素屈折率ｎ’の媒質に光が入射し、その境界面で反射する場合の振幅反射率は、ｓ偏光をｒｓ、ｐ偏光をｒｐとすると、
ｒｓ＝［ｎ×ｃｏｓ（θ）－√｛ｎ’＾２－ｎ＾２×ｓｉｎ＾２（θ）｝］／［ｎ×ｃｏｓ（θ）＋√｛ｎ’＾２－ｎ＾２×ｓｉｎ＾２（θ）｝］

ｒｐ＝［ｎ’＾２×ｃｏｓ（θ）－ｎ×√｛ｎ’＾２－ｎ＾２×ｓｉｎ＾２（θ）｝］／［ｎ’＾２×ｃｏｓ（θ）＋ｎ×√｛ｎ’＾２－ｎ＾２×ｓｉｎ＾２（θ）｝］

であらわされます。これは電場の振幅反射率なので、反射強度はそれぞれＲｓ＝｜ｒｓ｜＾２、Ｒｐ＝｜ｒｐ｜＾２になります。

これらの式も実は屈折率を複素数として扱ってフレネルの式導出と同様に求めることができます。

上記式ではごちゅごちゃしているので、少し整理すると、

Ａ＝√｛ｎ’＾２－ｎ＾２×ｓｉｎ＾２（θ）｝

とすれば、

ｒｓ＝［ｎ×ｃｏｓ（θ）－Ａ］／［ｎ×ｃｏｓ（θ）＋Ａ］
ｒｐ＝［ｎ’＾２×ｃｏｓ（θ）－ｎ×Ａ］／［ｎ’＾２×ｃｏｓ（θ）＋ｎ×Ａ］

と少し見やすくなります。

もちろん上記式はｎ，ｎ’が複素数なので複素数の形で計算することになります。
ただ、反射強度Ｒｐ，Ｒｓでは複素数のｒｐ，ｒｓの絶対値の二乗をとっていますので、Ｒｐ，Ｒｓは実数になるわけです。

お礼

早々の回答ありがとうございます。
非常に丁寧に解説していただき、わかりやすかったです。

ちなみに私はフレネルの公式を適用するためには透過角を必要とすると勘違いしていました。sinとcosの関係を使えば、確かに透過角は必要ありませんでしたね。勉強になりました。

これなら金属の反射率を求めることができそうです。

回答No.2

noname#235817

反射率を求めるやり方は少し置いといて．．

＞asinの中に複素数が存在して
この場合の計算方法は、数学の公式集に載っています。asinの中身の実部をa、虚部をbとすると、もとめたい角度θ（これも複素数になる）は、
θの実部=(asin((√{(1+a)^2+b^2}-√{(1-a)^2+b^2})/2))
θの虚部=±(log(((√{(1+a)^2+b^2}+√{(1-a)^2+b^2})/2)+√(((√{(1+a)^2+b^2}+√{(1-a)^2+b^2})/2)^2-1)))

ごちゃごちゃしていて間違いがあるかもしれませんが．．

お礼

回答ありがとうございます。

数学的見地からの回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。