ある量の水を冷やすために必要な氷の量

質問

私は、よく氷水を飲みますが、この前、コップの氷水の温度を計ると、
［　氷を入れる前→25℃　氷を入れた後→７℃　］になりました。
コップの水くらいなら、冷蔵庫の小さい氷を何個か入れるだけで10℃以下まで冷えますが、
浴槽の水のように、水の量が比較的多い場合だと、
水温20℃以上の水を、氷を大量に入れることによって、水温10℃以下まで温度を下げるには、
いったい、どれくらいの氷が必要になるでしょうか。

これを知りたい理由は、私はミステリーの漫画を書いていまして、
漫画の中でトリックとして使用したいからです。
コンビニエンスストアで売っているブロックアイス（約２キログラム）を使用して冷やすとしたら、
ブロックアイスが何個くらい必要か知りたいのです。

先日、実験してみました。
浴槽に水を張って、ブロックアイス（約２キログラム）を８個入れましたが、
ほとんど水温は下がりませんでした。

以下は質問の要点です。

【一】

ある量の水を、氷水にするには、どれくらいの氷が必要になるでしょうか。
具体的に温度を言えば、
春・夏・秋の昼間の水温（20℃以上）を真冬の水温（10℃以下）にするっていうことです。
水の量をｘとして、氷の量をｙとしたら、ｘとｙの関係は、だいたい、どうなりますか。
「　ｙ＝？ｘ　」　みたいな比例の関係になりますか。
比例の関係になるとして、？は、どんな数字になりますか。
0.5くらい？

【二】

浴槽に張った水を、ブロックアイス（約２キログラム）を使用して冷やすとして、
次の３つの場合、氷の必要量は、どのくらいになりますか。
Ａ　浴槽いっぱいに水を張った場合（200リットル）
Ｂ　浴槽の４分の３の量の水を張った場合（150リットル）
Ｃ　浴槽の半分の量の水を張った場合（100リットル）

【一】は水の量を指定せずに尋ねました。応用が効くようにしたいから。
【二】は水の量を指定して尋ねました。

よろしくお願いします。

回答No.1

outerlimit · ベストアンサー

比熱をご存知ですか
それと融解熱

1gの水の温度を1℃上げる（下げる）熱量が1Calです

30℃の水150g　と10℃の水100gを混ぜると　22℃の水　250gになります

氷が溶けるときには　1gあたり80Calの熱量が必要です（周囲から熱を奪う）

0℃の氷100g　と80℃のお湯100gを混ぜ　氷が溶けると　200gの水になり　温度は0℃です

質問は　全て上記が理解できれば　計算できます

なお　数値は厳密ではありませんが、質問の範囲でしたら充分です
それよりも　空気や容器を冷やす/暖めることに使用される熱を無視していますが、現実にはこの影響を無視できません

お礼

ご回答を、ありがとうございます。
比熱と融解熱は、言葉すら知りませんでしたので、勉強になりました。
ウィキペディア等でも検索したいと思っています。

（１）1gの水の温度を1℃上げる（下げる）熱量が1カロリーである
（２）氷が溶けるときには1gあたり80カロリーの熱量が必要である
　　　（周囲から熱を奪う）

という事を全く知りませんでしたので、
今回、outerlimitさんのお陰で覚えました。

２つの例を示してくださいましたが、
２つとも、自分で計算してみて、その通りになりました。
高卒の一般人の私には難しかったものの、ある種の達成感がありました。
中学レベルの数学（方程式とか）を使わないとできませんね。

回答No.2

walkingdic

まず、関係する定数は、

水の比熱４．２Ｊ／ｇＫ
氷の比熱２．１Ｊ／ｇＫ、氷の融解熱３３４Ｊ／ｇ

です。（Ｋはケルビンという温度の単位です。）
融解熱とは０度の氷が０度の水に変わるときに吸熱する量になります。

いま、温度Ｔ１［Ｋ］、質量Ａの水、温度Ｔ２、質量Ｂの氷があるとします。
２つをあわせて温度が最終的にＴ３（Ｔ３＞＝０と仮定）になるとしましょう。
水から奪われる熱量Ｑ１は、

Ｑ１＝（Ｔ３－Ｔ１）×Ａ×４．２

氷に供給される熱量は、全部が融けて同じ温度Ｔ３になると仮定すれば、

Ｑ２＝（２７３．１５－Ｔ２）×Ｂ×２．１＋（Ｔ３－２７３．１５）×Ｂ×４．２＋３３４×Ｂ

となります。いまほかに熱源はないとすると、Ｑ１＝Ｑ２が成立しますので、

（Ｔ３－Ｔ１）×Ａ×４．２＝（２７３．１５－Ｔ２）×Ｂ×２．１＋（Ｔ３－２７３．１５）×Ｂ×４．２＋３３４×Ｂ

となります。パラメータはＴ１，Ｔ２，Ｔ３，Ａ，Ｂですね。

＞水の量をｘとして、氷の量をｙとしたら、ｘとｙの関係は、

Ｂを求めるように式を整理してみましょう。

Ｂ＝（Ｔ３－Ｔ１）×Ａ×４．２／［（２７３．１５－Ｔ２）×２．１＋（Ｔ３－２７３．１５）×４．２＋３３４］

となります。つまり式をみるとわかりますが、水の量Ａに対しては比例関係があります。いま、Ｔ１＝２０℃、Ｔ２＝０℃、Ｔ３＝１０℃とすると、

Ｂ＝１０×Ａ×４．２／［１０×４．２＋３３４］
　＝４２Ａ／３７６　［ｇ］
　＝０．１１２Ａ

となります。（℃はＫに直して計算）

２番の問題は上記式に代入するだけです。
ちなみに水の量がＬの場合には、概略１Ｌで１ｋｇの換算で計算すればよいかと思います。

２００Ｌならば、２００ｋｇですから、２２．４ｋｇの氷が必要となります。

お礼

ご回答を、ありがとうございます。
融解熱とは０度の氷が０度の水に変わるときに吸熱する量であることは
勉強になりました。
計算は、一般人の私には、難しくて理解できない面も、ありましたが、
紙に書いて、根性で、やってみました。
（これが高校の物理か??）
計算の「最初の式」や「過程」は、完全には分からなかったものの、
最終的に、水の量と氷の量は比例関係になりますね。
１の方と同様に、参考になりました。
教えていただいた式を使って、自分で、色々な条件を変えて、
計算させてもらっています。