慣性力の問題

質問

こんにちは。
早速なんですがこのような問題がありました。

傾角30°、静止摩擦係数1.0の粗い斜面ＡＢをもつ三角台上に質量ｍ[kg]の物体を置く。
この三角台を斜面を左側にして右向きに一定の加速度ａ[m/s2]で運動させる。
重力加速度を9.8[m/s2]として、次の問いに答えよ。

加速度ａ[m/s2]がいくら以上になると、物体は斜面上をすべりだすか。

これって慣性系から見ると、物体には斜面水平方向に摩擦力、斜面垂直方向に垂直抗力、下向きに重力、右向きにmaの力が働いていると思ったんですが・・・
解答では非慣性系を考え、右向きではなく左向きにmaの慣性力が働いていました。

私の考えはどこが間違っているのでしょうか？
また、間違っていたとして慣性系からの解き方はあるのでしょうか？
どなたか回答お願いします。

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

慣性力というのは加速度運動をしている系に乗ったときにでてくる力です。静止座標系（慣性系）に乗って運動を見るか、加速度運動をしている系に乗って運動を見るかは座標変換だけの違いです。どちらでも解くことができます。
静止座標系の立場で加速度運動を記述するときは運動方程式を使う事になります。加速度運動をしている系に乗っている場合は慣性力を考える事によってつりあいの問題に引き落としてしまうことが出来ます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%8A%9B

静止座標系で解いてみます。
物体が斜面と一緒に運動しているとします。

垂直抗力をＮ，静止摩擦力をｆとします。
ｆは斜面に平衡です。
運動方程式は
水平方向：　ｍａ＝ｆcos３０°－Ｎsin３０°
鉛直方向：　０＝ｆsin３０°＋Ｎcos３０°－ｍｇ
です。
この２つからＮとｆを求めて
ｆ≦μＮ
に代入します。
ａ／ｇ≦(μ√３－１)／(√３＋μ)
になります。
この不等号が成り立たなくなると物体が斜面と一緒に加速度ａで運動しているという条件が成り立たなくなります。
右辺が正でなければａ＞０の値が存在しません。μ＞１／√３が成り立っていなければいけません。これは加速度運動を始める前の段階で斜面の上で物体が静止しているとすれば成り立っているでしょう。
斜面の上で物体が静止しているという場合の条件は
μ≧１／√３です。

斜面に乗っている立場で見ると物体は止まっています。つりあいの問題になるはずです。慣性力－ｍａを考えます。
水平方向：　０＝ｆcos３０°－Ｎsin３０°－ｍａ
鉛直方向：　０＝ｆsin３０°＋Ｎcos３０°－ｍｇ

＞慣性系から見ると、物体には斜面水平方向に摩擦力、斜面垂直方向に垂直抗力、下向きに重力、右向きにmaの力が働いていると思ったんですが・・・

静止座標系で見たときもつりあいで考えようとしてるのではないでしょうか。「右向きにｍａの力が働いている」のではなくて右向きに力Ｆが働いているので右向きの加速度ａが生じる。
Ｆ＝ｍａです。
このＦの中身が摩擦力、垂直抗力、重力の合力です。
ご質問の文章だとこの3つの力のほかに4つ目の力が働いているという意味になってしまいます。

「斜面水平方向に摩擦力」という表現はおかしいです。
「斜面に平行に摩擦力」です。「水平」は相対的なものではありません。常に重力に垂直な方向を意味します。

お礼

なるほど、確かにＦというのは合力の事だということを忘れていました。
おっしゃるとおり、物体にＦ、摩擦力、垂直抗力、重力の４つの力が働いているもんだと勘違いしていました・・・
正しくはＦ＝摩擦力＋垂直抗力＋重力なんですね。

もやもやが取れて良かったです。
分かりやすい回答ありがとうございました。