1から9までの数字を並び替えて3桁の数字の作り方

質問

1から9までの数字を並び替えて3桁の数字を作るときの
個数を求める問題でどうして下のように求めるのかを教えてください。
特に分からないのは一の位に1が出るのは56通りなのは分かるんですが
それだと2も56通りですよね！？でも、下の場合だと掛けているので
112個になるんじゃないか・・・ということです。

{(1+2+…+9)*100*56+(1+2+…+9)*10*56+(1+2+…+9)*1*56}

なぜそうなるのか教えてください。

回答No.5

kumipapa · ベストアンサー

＞　なぜ2×56、9×56なんですか？公式とかあるんですか？
公式などと軽々しく口にしないで欲しい。分からない事が出てくるとすぐに公式なのかと口に出すのは、数学を理解しようとしていない人の典型と考えざるをえない。

＞　一の位で1は56個、2は56個なら1×56+1×56+1×56+1×56+1×56+1×56
+1×56+1×56+1×56じゃないんですか
意味不明です。1×56を9回足したものがなぜ 「1は56個、2は56個なら」になるのか補足欄へどうぞ。

ただ単に混乱しているだけでしょう。

数を減らして、全部書き出してみましょう。
１から９だと数が多くなりすぎるので、１から４の数字を並び替えて３桁の数字を作って見ましょう。これをすべて羅列して、筆算でそれらの和を求めることを考えます。以下に一応書き出しますが、必ず自分で書き出して確認してください。

　　１２３
＋１２４
＋１３２
＋１３４
＋１４２
＋１４３
＋２１３
＋２１４
＋２３１
＋２３４
＋２４１
＋２４３
＋３１２
＋３１４
＋３２１
＋３２４
＋３４１
＋３４２
＋４１２
＋４１３
＋４２１
＋４２３
＋４３１
＋４３２
－－－－－

です。できる３桁の数の個数は４×３×２＝２４個。
これら２４個の３桁の数を上のように筆算で求めようと思ったら、まず１の位の数（上の筆算の右端の列）を全部足しますよね。それをやってみてください。１の位の数を全部足すと６０になるでしょう。だから、すべての数の和の１の位は０で、１０の位に６繰り上がって・・・というのを小学校で習ったはずです。分からなければ、即刻退場してください。

で、１の位の数を全部足すと６０になる、ということをもう少し賢く計算しよう。足そうとしている全ての数の１の位だけに注目する。１の位が「１」である数字は何個ありますか？実際に数えてみてください。６個ありますよね。なぜ６個になるか、分かりますよね。じゃあ、１の位が「２」である数字は何個ありますか？「３」は？「４」は？と見ると、「２」も「３」も「４」も６個づつあります。
もう一度まとめると、足そうとしている２４個のすべての数において、１の位だけに着目とすると、「１」～「４」という数字が６回個づつ出てくる。
じゃあ、全ての数の１の位だけを足したら、いくつになりますか？
「１」が６個＋「２」が６個＋「３」が６個＋「４」が６個
＝１×６＋２×６＋３×６＋４×６
＝（１＋２＋３＋４）×６
＝１０×６
＝６０

このような計算を「１」から「９」にして計算しているだけ。
申し訳ないが、これでもまだ分からないと言い張るなら、考えるつもりが無いとみなさざるをえない。

お礼

ただ単に勘違いしてました。

何度もすいませんでした。

回答ありがとうございました。

回答No.4

voice_koe

個数と和で混乱しているようですね。こういうときは簡単な問題に置きかえるとわかりやすくなるものです(私もよくやります)。

ここに、2が56個、3が56個あります。
(1)数字の個数は全部でいくつありますか。
(2)数字を全部足した和はいくらになりますか。

答えは、
(1)56+56=112
(2)2*56+3*56=(2+3)*56=280

です。もともとの問題で求めるのは(回答1のお礼によれば)個数でなく和ですから、(2)の考えをあてはめればいいわけです。

お礼

勘違いしてました。

スッキリ解決しました。

回答ありがとうございました。

回答No.3

kumipapa

＞　(1+2+3+...+9)×1×56 の（）内はなぜ足すんですか？
分かりやすい説明になるか自信がありませんが・・・
１から９の数字を並べてできる３桁の数字の総和を求める。できる数字をすべて羅列して加算することを考えると、

　１２３
＋１２４
＋１２５
・・・
＋１９８
＋２１３
＋２１４
・・・
＋２９８
＋３１２
・・・
＋９８７
――――
？？？？
という足し算をすればよい。１の位から計算すると、この足し算のなかで、１の位には「１」が５６回、「２」も５６回、・・・「９」も５６回現れるから、１の位だけに着目して足し算を実行すると、
1 × 56 + 2 × 56 + … + 9 × 56 = ( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 56
これが１の位の計算であることを明示するために、
( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 1 × 56
と書いてもよいでしょう。十の位にも「１」から「９」の数字が各々５６回現れるから、十の位だけに着目して足し算を実行すると、十の位だから１０倍することも考慮して、
1 × 10 × 56 + 2 × 10 × 56 + … + 9 ×10 × 56 = ( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 10 × 56
百の位も同様に考えて足し算すれば、( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 100 × 56
故に総和は
( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 1 × 56 + ( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 10 × 56 + ( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × 100 × 56
＝ ( 1 + 2 + 3 + … + 9 ) × (1 + 10 + 100) × 56
＝ 45 × 111 × 56
＝ 279720

補足

ごめんなさい。わかりません。
1 × 56 + 2 × 56 + … + 9 × 56　の
なぜ2×56、9×56なんですか？公式とかあるんですか？
一の位で1は56個、2は56個なら1×56+1×56+1×56+1×56+1×56+1×56
+1×56+1×56+1×56じゃないんですか？

回答No.2

kumipapa

＞　1から9までの数字を並び替えて3桁の数字を作るときの
個数を求める問題で・・・
問題が違いますよね。 1 から 9 の数字を並び替えてできる 3 桁の数字（の個数ではなくて）の総和を求めている。

百の位が 1 である数字は、（十の位と一の位の数字の組み合わせを考えて）56通りある。百の位が 2 である数字も56 通り。・・・
十の位が 1 である数字も 56通り。2である数字も56通り・・・
一の位が 1 である数字も 56 通り。2 である数字も56通り・・・

すべての数の百の位だけに着目して和を考えると、
(1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 9)×100×56
同様に、十の位の和、一の位の和をすべて考えれば
(1 + 2 + 3 ...+ 9)×100×56 + (1 + 2 + 3 ...+ 9)×10×56 + (1 + 2 + 3 ...+ 9)×1×56

＞　一の位に1が出るのは56通りなのは分かるんですが
勘違いでしょう。
(1 + 2 + 3 ...+9)×1×56
における、×１の部分は、１の位の数が１の場合のことを言っているのではなく、「一の位」だから１なんです。だから他の位では　×100, ×10 となっている。(1+2+3+...+9)×1×56 の括弧の中の1, 2, ...,9 が一の位の数が１の場合、2の場合、...9 の場合を表しています。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

(1+2+3+...+9)×1×56 の（）内はなぜ足すんですか？

回答No.1

diab

9P3=9*8*7=504(通り)ではないでしょうか。
これは、1から9までの数字を1回しか使わない場合の3桁の数の個数です。
まず、始めに選べる数は9通り、次は始めに1つ数字を選んだので8通り、最後も同じように前に選んだ2つ以外の数の7通りこれを掛けると答えが出ます。樹形図を書いてみると良くわかると思います。

お礼

間違えました。
3桁並べたものをすべて足すとどうなるか？
というものでした。すいません。