式の変換(逆変換？)

質問

式の変換についての質問です。

　X = a1*α + b1*β + c1*γ + d1
　Y = a2*α + b2*β + c2*γ + d2
　Z = a3*α + b3*β + c3*γ + d3
　　　(a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3は係数)

以上のような３つの式があるとき、
αとβとγをX/Y/Zを用いて表現したいのですが
なにか方法ってありましたっけ？
　例)α=k1*X + k2*Y + ・・・・

行列とか、なんとか・・・・
久しく数学をやってないのでさっぱりわかりません。
糸口をご教授頂けたら自分で解いてみたいとおもっておりますが
どの参考書を読めば良いかも分かりません。

よろしくお願い致します。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

#1の補足訂正です.

もし行列でやるのなら
┌　　　　　┐┌　┐　┌　　　┐
│a1　b1　c1││ α │　│X－d1 │
│a2　b2　c2││ β │＝│Y－d2 │
│a3　b3　c3││ γ │　│Z－d3 │
└　　　　　┘└　┘　└　　　┘
としたあと,係数行列
┌　　　　　┐
│a1　b1　c1│
│a2　b2　c2│
│a3　b3　c3│
└　　　　　┘
の逆行列を左から掛ければよいですね．

なお, 具体的係数についてα,β,γの値を出すだけが目的ならば, これはあまり得策ではないことは先に述べた通りです. 普通に連立方程式と思って解く方が良いでしょう.

お礼

大変有り難うございました。

回答No.5

toru1025

＃３さんのおっしゃっている通りだと思います。

線形変換と平行移動を合成したものを「アフィン変換」といいます。
質問は「アフィン変換」の逆像(変換)です。

線形代数の参考書をみられると納得されるものと思います。

「変換」は写像のなかで「点の移動」に関する呼称ですので、
質問の１行目「式の変換」はすこしひっかかります。

お礼

大変有り難うございました。

回答No.4

eatern27

X - d1 = a1*α + b1*β + c1*γ …(1)
　Y - d2 = a2*α + b2*β + c2*γ …(2)
　Z - d3 = a3*α + b3*β + c3*γ …(3)
(1)/a1　
(X - d1)/a1 = α + (b1/a1)*β + (c1/a1)*γ …(1)' (a1≠0とします)
(2)-(1)*a2
Y - d2 + (X-d1)/a1=0*α+ (b2-a2*b1/a1)*β + (c2-a2*c1/a1)*γ…(2)'
(3)-(1)*a3
Z - d3 - (X-d1)/a1=0*α+ (b3-a3*b1/a1)*β + (c3-a2*c1/a1)*γ…(3)'

ここまでの作業は(2),(3)のα係数を消しただけです。(a1＝0のときは(1)を(2)か(3)のうちαの係数が0でない方と交換して下さい。) (2)か(3)のαの係数が0である場合は(2)'=(2),(3)'=(3)としてください。です。
後は同じようにして、(1),(3)のβの係数、(1),(2)のγの係数を0にします。文字でやっているので、この後も続けるとすごいことになるため後は省略します。

ちなみにこれは他の方の言う逆行列を求めているのと変わりありません。a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3の値によっては求まらないこともあります。(例えば、上の続きで(2)',(3)'のβの係数の係数が０となった場合)

お礼

大変有り難うございました。

回答No.2

oshiete_goo

＃１です．
普通に連立方程式として解くのでなく，行列の形でやるのなら
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/linearalg02/node14.html
などがご参考になるのではないでしょうか．（消去法）

その他，線形代数の参考書をご覧になると良いと思います．
でも，よほど煩雑な場合や，一般論を問題にしているのでなければ，連立方程式として平凡に係数を合わせて未知数を減らしていくのが手っ取り早いかも．

回答No.1

oshiete_goo

X-d1 = a1*α + b1*β + c1*γ
　Y-d2 = a2*α + b2*β + c2*γ
　Z-d3 = a3*α + b3*β + c3*γ
としたあと,係数行列
a1　b1　c1
a2　b2　c2
a3　b3　c3
の逆行列を左から掛ければよいですね．
逆行列の一般形はクラメールの公式などのところをお調べ下さい．
でも，具体的な行列なら，基本変形の方が速いかも．