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連立微分方程式の解法について
Ｃ．Ｒ．ワイリー著の工業数学という本で勉強しているものです。 ミルンの方法で数値解析はできるのですが、真値が知りたくて質問しました。連立微分方程式は、以下に示すものです。 dy/dx = y^2 + xz dz/dx = x^2 + yz ただしx=0のときy=0,z=1 誰かこの方程式が解ける人は、回答よろしくお願いします。
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数式処理ソフトによれば、y(x) は以下の微分方程式の解となりましたが、この解析解は得られませんでした。これは初期条件なしでの結果です（初期条件を入れると解けない）。 x*y'' = ( 3*x*y + 1 )*y' - x*y^3 - y^2 + x^4 = 0 y が分かれば z = ( y' - y^2 )/x から z も分かるのですが。 数式処理ソフトにある数値解法を使って、初期条件（ y(0)=0, z(0)=1 ）を入れて、 y(x), z(x) の変化を見てみましたが、-2.3 ≦ x ≦ 1.66 場合でしか解が得られませんでした（それより外側では値が急変するようです）。以下に主な結果を示します。私は数値解析は全く専門でありませんがご参考まで。 （１） Fehlberg fourth-fifth order Runge-Kutta method ｘ y(x) z(x) -1 0.37221548199429792138 0.55416072547951194354 1 0.68450371373383461734 1.5856144477836704530 1.6 11.333166293960109908 11.409810946223326821 （２） seventh-eighth order continuous Runge-Kutta method ｘ y(x) z(x) -1 0.37221548253013369200 0.55416072521697039042 1 0.68450371337550577715 1.5856144478745228341 1.6 11.333166279585865204 11.409810934371233415
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- inara1
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この本はブレイン出版から日本語訳が出ているのですね。 この質問はこのまま開いておいてください。 少し考えてみますので。
- inara1
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Webで探してみましたが、該当箇所がなかなか出てこないので、実物を立ち読みしてみようかと思っています。丸善で売っていますが面白そうなら買ってしまうかもしれません。 http://www.amazon.co.jp/Advanced-Engineering-Mathematics-Clarence-Raymond/dp/0070722064/ref=sr_1_7/249-0879548-1407523?ie=UTF8&s=english-books&qid=1205847248&sr=1-7
お礼
自分は、数学の基礎学力があまり豊富なほうではないと思うのですが、この本のレベルは高めだと思います。今回触れた問題も、あえて解析解が求めずらい数式を提示して、ミルンの方法だと簡単に求められるという事を、著者が暗示しているのではと深読みをしてしまいます。内容は広範囲で、実用的な数学を身につけたいという人に適していると思われます。自分は、一応数学を一通りたしなみとして身に着けたいと思い、この本を読んでいます。丸善から発売していますが、ブレイン図書出版（株）から、練習問題解説書、必要であれば学習指導書を取り寄せないと、この本だけでは完全な理解はできないと思います。本書には奇数番の練習問題の答えしか載っていないので・・・。ご尽力くださってありがとうございます。
- inara1
- ベストアンサー率78% (652/834)
「工業数学」は読んだことはないのですが、解析解がないものを例題として取り上げることは普通はないと思います（数値解の精度検証ができないので）。差し支えなければば原著の題名と著者のスペルを教えてください。英語で検索すれば厳密解が見つかるかもしれません。
お礼
お気遣いありがとうございます。原著の題名は、「Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ」（ＴＨＩＲＤ ＥＤＩＴＩＯＮ）、著者のスペルは「Ｃ．Ｒ．ＷＹＬＩＥ，ＪＲ．」です。日本では、ブレイン図書出版からの出版となっています。上巻、下巻に分かれていて、上巻のＰ．１１３練習問題６の出題です。ブレイン図書出版からは「練習問題解説書＜上＞」というのが出ていて、これには、問題の計算過程から小数点第4位までの答えが出ていますが、解析解はでていません。なので、解説書とは答えが一致しているのですが、完璧癖なので、解析解は無いのかと模索していました。任せるかたちで申し訳ありませんがよろしくおねがいします。（時間が無くて・・・）
お礼
貴重なご意見ありがとうございます。ルンゲ・クッタ法による数値解析、ここまで精度の高い値は自力では無理でした。だいたい自分の得た結果と同じであることが分かりました。しかし、厳密解が得られない方程式はよくあるものなのでしょうか？。数値解析のありがたみが分かります。とても参考になりました。ありがとうございます！！