確率

質問

縦５マス、横５マスの碁盤目状の図がある。左下の端をA,Aから横に３マス、縦に2マスいったところの点をB,Aから横に2マス、縦に３マスいったところの点をCとする。Aを出発点として、さいころを投げて１，２の目が出れば右に1区間,それ以外の目が出れば上に1区間ずつ進む。
　（1）点Bに達する確率ＰBを求めよ。（答え：40/243)
　（2）点Cに達する確率ＰCとＰBはどちらがおおきいか。(答え：ＰCが大きい）
解き方がわかりません。問題から図を想像するのはむずかしいかもしれないですが、回答よろしくおねがいします！！

回答No.3

fushigichan

こんにちは。
まず、Bに到達するには、右に３回、上に２回行けばいいことに
なります。
右に一目進むには、１か２のどちらかが出ればいいので、確率は1/3
上に一目進むには、３，４，５，６、が出ればいいので、確率は2/3ですね。
さて、右に３回、上に２回進むには、５回のうち、どの２回が上かで5C2
ですから、
確率PB=5C2×1/3×1/3×1/3×2/3×2/3
=40/243
となります。

同様にCに到達する確率は
PC=5C2×2/3×2/3×2/3×1/3×1/3=80/243
となりますから、このほうがPBより大きいことが分かります。

イメージ的にも、（１，２）だけが出るより、（３，４，５，６、）
が出るほうが確率として大きいですもんね。
PCはPBのちょうど倍になります。

回答No.2

oshiete_goo

#1ですが(2)の別解の補足です.

ともに正であることがはっきりしている量どうしの大小を比べるとき,
例えば ＰC／ＰB を計算し, ＰC／ＰB が ＞1,＝1,＜1 に応じて順にＰC＞ＰB, ＰC＝ＰB, ＰC＜ＰB というように大小を比較するやり方があります．

今のように，ともに正であるＰCとＰBの大小関係を調べたい（が，個々の値そのものは分からなくても良い）といった場合だと，
　ＰC／ＰBを計算するのだが， 5Ｃ2は共通，それぞれの分母の3の５乗(つまり３の－５乗)も共通，２だけＰCの方が１つ多い．．．．だから結局，比ＰC／ＰB＝２で１より大きいからＰC＞ＰB　がいえる．．．と計算しているので，知っておくと役に立つこともあるでしょう．今はまだそれほど必要性はありませんでしたが．

特に，２項係数ｎＣｒが絡んだ計算とかだと，それぞれの値は求めにくいが，隣り合う２項どうしの比は簡単な形になって計算しやすいという場合があります．

回答No.1

oshiete_goo

図を見ながら読んで下さい．
横に行く確率は1/3,　縦は2/3です．
(1)AからBへは，全部で５ステップ，
ただしそのうち　→→↑→↑などのように縦が２回(横が３回)．
すると，ＰB＝5Ｃ2*(2/3)^2*(1/3)^3=40/243

(2)AからCへも，全部で５ステップ，
ただしそのうち横が２回(縦が３回)．
すると，ＰC＝5Ｃ2*(1/3)^2*(2/3)^3
もちろん，これを計算してＰBと比べても良いですが，それはやってみて下さい．
別解で，どちらも正より，比を見ると
ＰC／ＰB＝２＞１　なので　ＰC＞ＰB　である．