平方完成の問題かも？

質問

いろいろ過去ログを読んだのですが、頭が悪くて理解できませんでした。orz

ax^2+bx+c=0
から解の公式を導出する過程で、

x^2+b/a*x=-c/a となり、ここまではいいのですが・・・

x^2+b/a*x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2 ・・・この (b/2a)^2 はどこから出てきたんでしょうか？(1)

そしてこれを計算すると
(x+b/2a)^2=b^2-4ac/(2a)^2
になるとのことですが、この途中の計算がわかりません。(2)

申し訳ありませんが、中学生にわかるレベルで教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。m(__)m

回答No.2

Quattro99 · ベストアンサー

ご想像の通り、強引に平方完成させているだけです。

ax^2+bx+c=0　　（a≠0）
両辺をaで割って、
x^2+(b/a)x+c/a=0　　(A)
ここで、どうにかして、(x-p)^2-q=0の形にしたいわけです。そうすれば、x-p=±√qからx=p±√qと求まるからです。
そこで、(x-p)^2=qを展開して(A)と見比べます。展開すると、
x^2-2px+p^2-q=0　　(B)
ですから、xの1次の項の係数から-2p=b/aとなり、p=-b/2aとすればよいことがわかります。求まったpを(B)に代入して定数項を(A)と比べてqを求めればご質問にある式が出てきます。

ご質問の(1)に出てくる(b/2a)^2は(B)のp^2です。(x-p)^2を作るためにはp^2が必要なので無理矢理用意しただけです。無理に用意してますから等式が成り立つように右辺にも足しています。

(2)の左辺は(x-p)^2を作っただけ（そう出来るようにしたので当然出来る）、右辺は展開してまとめただけです。

お礼

大変、分かりやすく説明していただき、ありがとうございました。
-2p=b/a っていうことに気づけば良かったんですね・・・
かなりすっきり理解できました。

回答No.1

ushioni

(1)
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2
なので、左辺を()^2の形にしたければ、
xの一次式が2axならばa^2を加えることで因数分解可能になります。
つまり、xの係数の半分の自乗を足せば良いのです。

(2)
括弧をちゃんとつけて下さい。
b^2-4ac/(2a)^2ではなくて(b^2-4ac)/(2a)^2ですよね？
左辺は、因数分解、右辺は(2a)^2で通分すればよいです。