等分布荷重の単純ばりの考え方

質問

初心者です。皆様のご協力お願いします。
水路に乗せるだけの蓋（平板）を製作しています。いままでは製作して納入するだけで良い立場でしたが、先方様から強度計算書を求められて、一から勉強始めました。
蓋の決まりが、『500kg/m2に耐えれえる事』です。
製品の大きさが、400ｗ*1000L*20t（厚み）　単位：mm　です。
私は、まず500kg/m2を等分布荷重と判断。参考書を読むと、等分布荷重を集中荷重に置き換えるとあるので、
1）製品の面積が0.4ｗ*1.0L＝0.4m2　製品重量：20kg
2）500kg/m2*0.4m2＝200ｋｇ（この製品1枚に200kgの等分布荷重が作用した時に製品が割れなければokと解釈
これを、断面算定する。

ここで、水路への蓋乗せ方は、1000Lと平行に縁（50mm）がありますので、スパン（製品が宙に浮いている区間）が400w-（50mm*2）＝300mmとした。
言葉の意味はまだ理解していませんが、
3）最大発生曲げモーメント　M=wl^2/8公式に代入して、
200*300*300/8＝2250000kg・mm^2
4）断面係数　Z=bh^2/6公式に代入して、
1000L*20t*20t/6=66666mm^3
5）最大発生曲げ応力度　σ＝M/Z公式に代入して
2250000/66666＝33.8kg/mm^2
6）断面二次モーメント　I=bh^3/12公式に代入して
1000*20*20*20/12＝666666mm^4
7）最大発生たわみ　τ=5PL^4/384EI公式に代入して
5*200＊300*300*300*300/384*21000*666666＝1.5mm

ここで、5）と製品が持っている特性40kg/mm^2より安全。
7）と2.0mmまでたわみがあって良いより安全。
と考えてよいですか？

長々となってしまいましたが、自分なりに考えました。
この考え方で良いのか、皆様御教示お願いします。

回答No.3

h191224 · ベストアンサー

> ここまで御丁寧に御教示いただいた方は初めてです。

あらら？　それは光栄です！
「豚もおだてりゃ、木に登る～」ですから、頑張って回答しましょう！

> 初心者という事もあり、完全に自分の説明不足です。

いえいえ、こういう機会を利用して、次第に覚えていけば良いことなのですよ。最初から完璧な人間など、いるはずもないのですから。

> まず製品の材質が…特殊コンクリート系…製品重量の20kg

了解です。

> 鉄筋がないと仮定して計算を始めました（間違った考えかな？）。

構いません。
ただし、Eの値として、その特殊コンクリート系の値を調べて、適用しましょう。

鉄筋を無視した場合に、耐えない、とう答えが出てきたなら、鉄筋の存在を考慮すれば良いのです。この場合のEは、特殊コンクリート系の値に、鉄筋の存在を加味した、高い値になりますが、その計算方法はどの材料力学の本にも載っているものです。

> 断面算定とは、参考書に『次に破断面の性質を計算していきます』となり、断面一次・二次モーメントや断面係数・応力度などの計算が記載してましたので、断面算定という言葉を自分が使用しました。

『破断面の性質を計算していきます』という表現は、私の人生で初めて遭遇したものですね。
『破断面』と言えば、『破断した面』と解釈するのが普通で、これから破断するかも知れない面には使わないのが普通です。
正しくは、『破断面となる可能性のある面について、断面定数と状態量を計算していきます。』でしょうね。まあ、土木の業界ではそんな表現をするのかも知れませんね。しかし、一般的ではありません。できれば、専門外の人にもわかるような表現を選ぶのがスジです。
しかしまあ、今はこの表現を受け入れておきましょう。
でも、勝手に「これを、断面算定する。」という表現を使用するのは不可です。どこか、本にでも記載されていれば使用しても構いませんが、そうでなければ、言いたいことが誰にもわからないと思います。

> 製品の重量も加算するのですね。参考書に記載がなかったので・・・

もし『500kg/m^2が作用した時のたわみと応力はいくらか？』という問題の解なら、重量の考慮は不要です。
しかし、今の場合には、『500kg/m^2に耐えられる事』という条件ですから、暗黙のうちに、『500kg/m^2が作用しなくても存在する荷重』も考慮する必要があるのです。
参考書は、あくまで参考にするものです。

> 3）の最大発生曲げモーメントは、
M=wl^2/8=(4.9N/mm＋615.44N)×300mm×300mm/8　・・・。
という考えではないですよね。単位が合ってないですからね・・・。

分布荷重と集中荷重を、そのまま加えるなんて、１メートルと１キログラムとを足すようなものです。
自重による分布力をwmとすれば、
wm=Q/A=196N/400mm=0.49N/mm
で、最大負荷圧力が及ぼす力P(=4.9N/mm)の1/10ですねえ。まあ、無視しても差し支えないかも、というレベルですねえ。

> 『最大負荷圧力が及ぼす力P』は、集中荷重と考えていいのですか？

等分布荷重を集中荷重に置き換える必要などはない、と書いたでしょう？
分布荷重の公式に、値を代入すれば良いだけなのですよ。
どうしてすぐに分布荷重を集中荷重に置き換えようとするのですか？
悪い参考書を見てしまったようですね？？

とはいうものの、私が計算には直接使用しないPなどという量を書いたのがいけないのですねえ。
しかし、分布力という値だけでは、トータルの力がわかりません。トータルを算出して初めて、「どの程度相当の荷重か？」というレベルが勘として把握できるのです。

しかししかし、私、「人間が8人乗って」と書きましたが、1960Nじゃ、人間が3人」のレベルでした。書き間違え…

なお、ANo.2の方が「近頃は圧力の単位に（ｋｇ/ｍ^２）など使いませんよ。」と書かれています。確かに、SI単位系での圧力の単位はPaですが、実用的にはまだkg/m^2（正しくはkgf/m^2)などが使用されていますね。特に顧客が使用している場合には、否応なしに従わざるを得ない場合も多いのです。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
なかなか理解できない私に対して、ここまで親切にしていただいて、申し訳なく思います。
同時に私も勉強していますので、頑張ってみます。
また、似たような質問を投稿する可能性もありますが、御了承願います。

回答No.4

masa2211

客先から計算書を求められた場合、計算が間違っていたら信用を落とすため、
計算結果が不安なら、自分で計算するのではなく、計算できる人に頼む（たとえ、設計会社にお金を払ってでも。）必要があります。
ここが、ビジネスにおいて、根本的に間違っている部分です。
自力で計算するのは、せめて、集中荷重とか分布荷重、断面係数といった概念を理解してからにしてください。
（念のため。数式までは覚えなくて良いです。）

＞この製品1枚に200kgの等分布荷重が作用した時に製品が割れなければokと解釈
違います。
500kg/m2に耐えられる、というのは、実際に荷重をかけた場合に、その3倍の1500kg/m2くらいで本当に壊れることを指します。
（3倍の3という倍率は、材料により異なる。コンクリートの場合、3～3.5。）

＞特殊コンクリート
＞ｔ＝20mm
＞E=21000 kg/mm2 (=2.1*10^6kg/cm2)
＞σsy=40kg/mm^2 (=4000kg/cm2)　　※σsyという記号は質問文において使っていない。
Ｅとσsyの値は、鋼材(SD40)のそれでありコンクリートのものではありません。
コンクリートの場合、応力計算用には
E=1400kg/mm2 (1.4*10^5kg/cm2)
σck=3kg/mm2 (300kg/cm2)
くらいです。　(コンクリートにより±30％くらいの変動があります。）
で、3倍という倍率があるので、
σca=1.0kg/mm2 (100kg/cm2)を使います。
（σcaのｃはコンクリート、aは許容値を意味する。）
つまり、こういう数値を並べられると、コンクリート製とは思えないのです。重量だけは、確かにコンクリートの重量ですが....

再掲。
＞特殊コンクリート
＞ｔ＝20mm
特殊コンクリートとは、それが意味する範囲が非常に広く面食らいますが、鉄筋コンクリートの意味に解するとして、
鉄筋は、コンクリートの表面から2ｃｍ以上内側に埋め込まないとならないので、
裏表で4ｃｍ、それに鉄筋の直径を足すと、少なくても5ｃｍの厚さとなります。
それなのに厚さ2ｃｍですか？　え？？？
鉄筋とコンクリートが剥離しないか計算（実験）で確かめよ、とか言われますよ。
（コンクリート示方書基準外なので、計算で持てばｏｋというのはかなりの温情です。）

＞鉄筋も製品に入っていますが、理解できなくなってきているので、鉄筋がないと仮定して計算を始めました
コンクリートだけで計算する場合、
「コンクリートは圧縮には強いけど引張りには弱い」
ということを考えないとなりません。
σca=1.0kg/mm2 (100kg/cm2)　　は、圧縮の場合であり、引張の場合は、その1/10くらいです。
ですので、σ＝Ｍ/Ｚで計算したとき、0.1kg/mm2以上の応力は発生したらアウトです。
よって、鉄筋を勘定に入れない限り、荷重に絶えられないでしょう。

＞σ＝M/Z　　Z=bh^2/6
鉄筋コンクリートの場合、この式は使用できません。
理由：
1.コンクリートは、引張りを受ける部分は、あたかもコンクリートが無いものとして計算する。
（引張は全て鉄筋で受け持つ。）
2.鉄筋とコンクリートのＥが異なることを考慮しなければならないため。

※特殊コンクリートというのが、鋼繊維補強コンクリートとかＰＣのことなら、
　話はだいぶ変わってくる（更に面倒な計算が必要）のですが....
　だから、最初から、この手の計算のプロに頼むべきなのです。

お礼

御丁寧はご回答ありがとうございます。
プロに頼むのが早いし安心できるので、自分もそうしたいのですが、設計事務所（2社参考にとりました）からの見積り金額に、弊社の承認がおりませんでした。
頼んだとしても、ある程度自分も理解して打合せ等行いたかったので、まずは自力で　との考えでした。
貴殿のアドバイスも参考にして、今後の進め方を決めたいと思います。

回答No.2

fuuraibou0

まず，鉄板の密度を，ρ＝０.７８６×１０３（ｋｇ/ｍ^３）とすると，
幅 Ｌ＝０.３ ｍ、長さｈ＝１ ｍ、厚さｔ＝０.０２ ｍ であるから
蓋の自重 Ｗ （Ｎ）は、Ｗ＝９.８ρＬｈｔ である。

更に，蓋に作用する圧力 ｗ は，重力の加速度を９.８（ｍ/ｓ^２）と
すると，ｗ＝９.８（ｍ/ｓ^２）×５００（ｋｇ/ｍ^２）
＝４９００（ｋｇ・ｍ/ｓ^２・ｍ^２）＝４９００（Ｎ/ｍ^２）

よって，幅（スパン） Ｌ 当りの等分布荷重 ｐ （Ｎ/ｍ）は，

ｐ＝（Ｗ /Ｌ）＋ｗｈ＝９.８ρｈｔ＋４９００ｈ
＝９.８×０.７８６×１０^３×１×０.０２＋４９００×１
＝５０５４.０５６（Ｎ/ｍ）

ゆえに，等分布荷重ｐ が作用するスパンＬ＝０.３ｍ の両端支持はり
の中央における最大モーメント Ｍｍａｘ (Ｎ・ｍ) は，

Ｍｍａｘ＝ｐＬ^２/８＝５６.８５８（Ｎ・ｍ）で，
断面係数が Ｚ＝ｈｔ^２/６（ｍ^３）であるから，

最大曲げ応力 σ は．σ＝Ｍｍａｘ/Ｚ＝６Ｍｍａｘ/ｈｔ^２　より，

σ＝６×５６.８５８/（１×０.０２^２）＝８５２８７０（Ｐａ）

よって、鉄板の引張強さがσＢ＝４００（ＭＰａ）のとき，安全率Ｓは

Ｓ＝σＢ/σ＝４００×１０^６/８５２８７０＝４６９ でものすごく安全

ひょっとしたら，蓋に作用する圧力 ｗ は，５００（ｋＮ/ｍ^２）では
ないのか？　近頃は圧力の単位に（ｋｇ/ｍ^２）など使いませんよ。

お礼

御教示ありがとうございます。
非常に丁寧で、初心者の私も、順序立てて理解しやすいです。
頑張って自分になりに努力していきますが、再度困った際は、投稿しますので、宜しくお願いします。

回答No.1

h191224

材質が鉄のようですが、直感的に、1.5mmもたわむハズがない！
30cm×1m×板厚2cmの鉄板の上に、人間が8人乗って、そんなに凹んだら、エライコッチャ！
それが真実ならば、形状の条件として何かが抜けていると思います。

まず、記号がごちゃごちゃです。
特に、違う量に同じ記号を使うのは、混乱の元です。
単位も統一しましょう。
以下は、kg,N,mmへの統一を図っています。

梁の公式で当然のごとく使用されている記号を板の関係で使用しないように、たとえば次のように定義し直しましょう。
板の寸法
　a[幅]＝400mm、
　b[長さ]=1000mm、
　h[厚さ]=20mm
　A[面積]=ab=4×10^5mm^2
最大負荷圧力
　p=500kg/m^2=500×9.8N/m^2=4.9×10^-3N/mm^2
最大負荷圧力が及ぼす力
　P=pA=4.9×10^-3N/mm^2×4×10^5mm^2=1960N
梁の公式に代入する分布荷重値wは、
　w=pb=4.9×10^-3N/mm^2×1000mm=4.9N/mm

梁の公式に代入すべき値
　L=300mm
　w=(上記)
　E=206×10^3N/mm^2

以下、乱雑ながらコメントを。

「1)の製品重量：20kg」は何？？どこからこの値が突然出てきた？？

「500kg/m2を等分布荷重と判断」はOK。
　ただし、400×1000に分布させるのか、300×1000に4/3倍したものを分布させるのかは、顧客と要相談。

「等分布荷重を集中荷重に置き換える」必要などはない。
　公式に上記値をそのまま代入すれば良いだけ。

「この製品1枚に200kgの等分布荷重が作用した時」という表現は不可。
　「この製品1枚に200kgが等分布荷重として作用した時」ならOK。

「これを、断面算定する。」とは何をするの？？

「ここで、水路への蓋乗せ方は…」以下は、記号の統一と、Eの単位が間違っている（上記値を採用すべし）のと、3)の計算が間違っているのを除けばOK。

3)が間違っているということは、以後の関連するところもNG。

7)の式中のPは、wの間違い。

IとZは合っている。使った式も合っている。

ただし、板の質量による荷重がPの1/3近くもあるので無視できない！！
この分も加えるべし。
板の質量
　m=62.8kg(=　密度×体積　=　ρabh,　
　　　　　　　ρ[密度]=　7.85×10^-6kg/mm^3)
板の質量が重力によって及ぼす力
　Q=mg=62.8kg×9.8m/s^2=615.44N

以上、間違っているかも知れませんので、一度式と値は追って下さい。

お礼

ここまで御丁寧に御教示いただいた方は初めてです。
本当にありがとうございます。

補足

ここまで御丁寧に御教示いただいた方は初めてです。本当にありがとうございます。もう少し教えて下さい。

初心者という事もあり、完全に自分の説明不足です。

まず製品の材質が鉄ではなく、特殊コンクリート系とお考え下さい。そこで、1）の製品重量の20kgは合っています。
本当なら鉄筋も製品に入っていますが、理解できなくなってきているので、鉄筋がないと仮定して計算を始めました（間違った考えかな？）。

断面算定とは、参考書に『次に破断面の性質を計算していきます』となり、断面一次・二次モーメントや断面係数・応力度などの計算が記載してましたので、断面算定という言葉を自分が使用しました。

話は戻りまして、製品の重量も加算するのですね。参考書に記載がなかったので・・・。
そしたら、3）の最大発生曲げモーメントは、
M=wl^2/8=(4.9N/mm＋615.44N)×300mm×300mm/8　・・・。
という考えではないですよね。単位が合ってないですからね・・・。
すいません。わかりません。

また、貴殿が示してくれた『最大負荷圧力が及ぼす力P』は、集中荷重と考えていいのですか？

誠に申し訳ありませんが、再度アドバイスお願いします。