周波数差Δωを波長差Δλに変換する式

質問

レーザーの線幅などは、よく周波数差Δωで表されていますが、
これを波長差Δλに変換するにはどう計算すればよいのでしょうか？

単純に考えると、ω1=c/λ1、ω2=c/λ2（ω1>ω2）として
Δω=ω1-ω2=c(λ2-λ1)/(λ1×λ2)
Δλ=λ2-λ1=Δω×(λ1×λ2)/c
となり、λ1とλ2が分からなければΔλが計算できないというおかしな結果になってしまいます。

とてつもなく無知な質問をしているかもしれませんが、
ご教授お願いします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

Δω だけしか分からないときはΔλ は求められません。
ω0 ≡ ( ω1 + ω2 )/2 と定義したとき、Δω << ω0 ならば、Δλ ≒ c*( Δω/ω0 ) となります。
つまり、Δω から Δλ を計算するには、ω0 が分かっている必要があります。

ω0 ≡ ( ω1 + ω2 )/2 、Δω ≡ ω1 - ω2 と定義すれば、
　　　ω1 = ω0 + Δω/2、ω2 = ω0 - Δω/2
が成り立ちます。なぜなら、この定義から
　　　ω1 - ω2 = ( ω0 + Δω/2 ) - ( ω0 - Δω/2 ) = Δω
　　　( ω1 + ω2 )/2 = ω0
となるからです。

したがって、λ1 = c/ω1、λ2 = c/ω2 なので
　　　Δλ ≡ λ2 - λ1
　　　　　　　= c/ω2 - c/ω1
　　　　　　　= c*( 1/ω2 - 1/ω1 )
　　　　　　　= c*{ 1/( ω0 - Δω/2 ) -1/(ω0 + Δω/2 ) }
　　　　　　　= c*Δω/{ ω0^2 - ( Δω/2 )^2 }
　　　　　　　= c*( Δω/ω0 )/[ 1 - { Δω/( 2*ω0 ) }^2 ]
となります。 Δω << ω0 ならば、 1 - { Δω/( 2*ω0 ) }^2 ≒ 1 なので
　　　Δλ ≒ c*( Δω/ω0 )

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。

大変丁寧なご回答ありがとうございます。
中心周波数を使えば波長差に変換できるのですね。
非常に分かりやすくて関心しました。

どうもありがとうございました。

回答No.4

felicior

おかしくないと思います。
ω=c/λ
の両辺を微分すると
dω=(-c/λ^2)×dλ
ですのでΔωとΔλの関係はωもしくはλに依存します。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。

ご回答ありがとうございます。
中心周波数が変われば、変換する波長差も変わるということですね。
この部分が一番引っかかっていたところなのですが、皆様の回答で
十分理解することができました。

どうもありがとうございました。

回答No.3

91091

違う計算方法ですが、
ω＝２π×ｃ／λ　ですので、
λで微分して、
ｄω／ｄλ＝－２π×ｃ／（λ＾２）
よって、
｜Δλ｜＝（λ＾２）×｜Δω｜／（２π×ｃ）
と、計算されます。同じような結果となります。
（２πに気をつけましょう）
Δを扱うので、λ１≒λ２ですので、それでいいと思います。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。

ご回答ありがとうございます。
違う計算方法を示していただいだき、非常に勉強になりました。

回答No.1

noname#57316

c/Δλ=(c/λ2)-(c/λ1)=Δω
∴　Δλ=c/Δω
と考えるべきなのではないでしょうか。
λ自身の差は、物理的な意味を持っていそうに思えませんが…

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。

ご回答ありがとうございました。
可視域のレーザーを分光器で測定しているのですが、
この領域では波長表示が一般ですので、ぱっと見てわかる波長差
で線幅を表したかったのです。