第二宇宙速度の求め方について

質問

第二宇宙速度の求め方について質問です

第二宇宙速度を求めるには地球表面でのある物体の運動エネルギーと無限遠方を
基準点とする位置エネルギーの和は無限遠方でも保存していると考えて
無限遠方では位置エネルギーはほぼ０（∵limｒ→∞１／ｒ＝０）であるから
無限遠方で物体の位置エネルギーが正となっているような速度で地球から
ある速度Ｖ以上で投射すればその後も地球から離れつづけていくのでよいと
いう解法を昨日学校でやりました。

ここで疑問です。

エネルギ－はスカラー量ですよね？ということは無限遠方で運動エネルギーが
正だからといってその速度の方向が地球から離れていく方向とは限らないのでは
ないでしょうか？地球に近づく方向に速度を持っていてもさっきの条件が成り
立ってしまうと思うのです。つまりこの運動エネルギーが正でないといけない
というのは物体が無限遠方から離れていくための必要条件なのではないのかと
おもうのです。だとしてももう１つの条件式は何だ？ときかれたら困りますが（苦笑

回答お願いします

回答No.2

alien55 · ベストアンサー

＞無限遠方で運動エネルギーが正だからといってその速度の方向が地球から離れていく方向とは限らないのではないでしょうか？

その通りです。「運動エネルギー1/2・mv^2が正 ⇔ v＞0」は間違いで、「v＞0 ⇒ 運動エネルギー1/2・mv^2が正」が正しいですね。
しかし、これは数学上の問題で物理の本質には関係ありません。

＞地球に近づく方向に速度を持っていてもさっきの条件が成り立ってしまうと思うのです。
その通りです。

例えば第二宇宙速度以上の速さ（例えば20km/sec）で地球から外に向けて打ち出したとします。飛んでいる間に物体の速さはだんだん
小さくなりますね。そしてある点Aで3km/secになったとします（図1）。
ここでもう一つの物体を用意して、それを同じ点Aから逆向きに速さ3km/secで地球に向けて打ち出したとします（図2）。そうすると
地球に衝突してしまいますが、もし、重力場だけあって地殻などが無いと考えれば（地球に軌道に沿ったトンネルを日本からブラジルまで
掘って通す）、やはり物体は、反対側の宇宙へ無限遠方まで飛んでいきます。
そもそも第二宇宙速度の導出過程には、地球に衝突して物体が壊れるとか、地殻の硬さとかは、情報として入っていません。
情報はポテンシャル（位置エネルギー）と、質量のみです。ポテンシャルがあって地殻が無ければ、やはり物理の結果は正しいのです。
つまり、sharp-penさんが抱えている疑問は、疑問に思うことは何もない、sharp-penさんの疑問の内容は正しいのですから。
おっしゃる通り、エネルギーはスカラー量ですから方向の情報はありません。第二宇宙速度についても、スカラー量のみで議論してますか
ら、出てくる結果に方向についての制限はないのです。

図1：地球（20km/sec）→→→→→点A（3km/sec）→→→→→→→→→→→→→→→→→→…無限遠
図2：無限遠…←←←←←←←←←←←←←←←←←←←地球（20km/sec）←←←←←点A（3km/sec）

＞だとしてももう１つの条件式は何だ？
話を1方向に限るなら、「初速度＞0」とかになるでしょうが・・・
それでも気持ちが悪いのでしたら、次のような導出過程をオススメします。この方法では無限遠での速度についての議論はありません
から。次の方法で初速度v0＞0を使ってみます。

地球の中心からxの距離にある質量mの物体にはたらく地球からの重力の位置エネルギーUは、
U=-GmM/x　　　　……(1)
です。ただし、Gは万有引力定数、Mは地球の質量です。このUは、無限遠方（x → ∞）で0となるように設定しています。
ここで、地球の半径をRとし、地表面における重力加速度をgとすると、
mg=GmM/R^2 ⇔ GM=gR^2
だから、これを(1)に代入して、
U=-mgR^2/x　　　……(2)
となります。

物体の運動エネルギーは、物体の速度をvとすると、1/2・mv^2で、力学的エネルギーは、
E＝運動エネルギー＋万有引力の位置エネルギー＝1/2・mv^2 － mgR^2/x
これをvについて解くと、ある点xにおける物体の速度は、
v＝±[2/m(E＋mgR^2/x)]^0.5 ……(3)
また、特に地表面における速度v0は、(3)にx=Rを代入して、
v0＝±[2/m(E＋mgR)]^0.5
ここで初速度v0は正であるとすると、プラスマイナスは取れて、
v＝[2/m(E＋mgR)]^0.5　　……(4)

さて、(3)でvが実数であるためには、(3)の根号の中身[ ]が正または0でなければなりません。すなわち、
すべてのxについて、2/m(E＋mgR^2/x)≧0　⇔　E≧0
すなわち、地表面の速度(4)において、
v＝[2/m(E＋mgR)]^0.5 ≧ [2/m(mgR)]^0.5 ＝ (2gR)^0.5 ＝ 11.2 [km/sec]
これが第二宇宙速度です。

お礼

とてもスッキリしました。
ありがとうございました

回答No.1

chukanshi

そもそも第二宇宙速度というのは、「（地球の）重力圏から脱出するのに必要な最低限の速度」ですので、速度の向きは、重力源から放射状に伸びた直線上で向きは重力源と逆方向を向いている、という仮定のもとで考えます。ですから、エネルギーはすべて重力から抜け出す方向の運動のエネルギーと考えて求めます。

お礼

ありがとうございました