伝達関数について

質問

初めにゲイン線図の概形図が与えられており、このゲイン線図のようになる伝達関数を求めよ。
（図としては、【最初は傾き：－４０[dB/dec]で変化しており、ω＝ω1から傾き：－２０[dB/dec]の変化になり、ω＝ω2で０[dB]を通って、最後はω＝ω3で再び傾き：－４０[dB/dec]に戻る】という図です。）
という問題があるのですが、その解き方が良く解りません；初めに私が考えた方法としては、
１．ω1～ω3に、適当に値を代入する。（例：ω1＝0.1；ω2＝1；ω3＝10）
２．そのゲイン線図から実際に伝達関数を求めてみる。
（ω＝0.01のときはグラフより６０[dB]となるので、その値となるように部分的に伝達関数を用意する等…）
３．求めた伝達関数の部品（？）を合成して、合成伝達関数を求める。
４．ω1～ω3を全て使って、その合成伝達関数が成り立つように式を立てる。
というようにして、
G(s)＝{(s＋ω1)ω2ω3}/{s^(2)×(s＋ω3)}
という解を出したのですが、これでは明らかに図が複雑になったときに求めることは出来ませんし、４．のところではω1～ω3の色々な組み合わせを試さなければならないため、かなり時間がかかってしまい、実際に解くのはまず不可能と思います…；
どなたか正しい考え方を教えていただけないでしょうか？

回答No.3

noname#57316 · ベストアンサー

＃２ です。
注意すべきことを一つ。

ゲイン、log(τ1・s+1)、log(τ2・s+1)、log(τ・s3+1) は、折点周波数である ω1、ω2、ω3 以下の
周波数においては、0(db) に極めて近いので（例えば、s<ω1/10=1/(10・τ1) であれば、
log(τ1・s+1)<log(11/10)≒0、という具合）、折点以下のゲインは、考えるに及ばないのです。

お礼

とても詳細な解説をしていただきありがとうございました。
他にも類題を解いてみて、正しい考え方をきちんと理解しようと思います！

回答No.2

noname#57316

ボード線図を頭に描いてください。
伝達関数をG(s)とすると、周波数、ゲイン共、対数表示するのはご存知のとおりです。
従って、周波数を上げていき、折点に達する都度、相当するゲインの対数を
加えていけばよいのです。

伝達関数が、KG(s)={K(τ1・s+1)(τ2・s+1)…}/{s^n(τa・s+1)(τb・s+1)…}
のように表わされるとします。対数を取れば
　20・logKG(s)=20・logK+20・log(τ1・s+1)+20・log(τ2・s+1)…
　-20・log(s^n)-20・log(τa・s+1)-20・log(τb・s+1)…　
となります。

今の場合、0～ω1=1/τ1 までは、-40(db/decade)　なので、s=jωとした時
-20・log(s^n)/log(10)=-40・log|jω|　より、n=2 で、ゲインは　-log(s^n)=log(1/s^2)

ω1～ω2=1/τ2　までは、-20(db/decade)　なので、ω1を折点として、
ゲインは-20-(-40)=20(db/decade)で、s=jωとした時、ωの増加につれ
-40+20・log(τ1・s+1)/log(10)　は、-20・log|jω| に漸近するので、ゲインは、k1・log(s+ω1)

ω2～ω3=1/τ3 までは、0(db/decade)　なので、ω2を折点として、
ゲインは0-(-20)=20(db/decade)で、s=jωとした時、ωの増加につれ
-20+20・log(τ2・s+1)/log(10)　は、0・log|jω| に漸近するので、ゲインは、k2・log(s+ω2)

ω3～∞ までは、-40(db/decade)　なので、ω3を折点として、ゲインは、
-40-0=-40(db/decade)で、s=jωとした時、ωの増加につれ
0-40・log(τ3・s+1)/log(10)　は、-40・log|jω| に漸近するので、ゲインは、
-k3・log(s+ω3)^2=k3・log(s+ω3)^(-2)

これらから、ゲイン G(s) は、
G(s)=K・{(s+ω1)(s+ω2)}/{s^2・(s+ω3)^2}
となります。
なお、各折点間のゲインに現れる k1、k2・・は周波数に関係しませんのでひっくるめて、
Kとしております。

回答No.1

foobar

制御理論などの教科書を見れば、記述があるような気がしますが、、
最初に-40dB/decの傾きということから極低い周波数では二次の積分系
ω1で傾きが20dB/dec変わるということは、ω1をコーナー周波数に持つ一次進みが縦続接続されている
・・・・という具合に一次遅れや一次進みの要素を縦続接続していけば、全体の形がわかるかと思います。
最後に、ω2で0dBということから、全体の利得を決定すれば、合成伝達関数が定まるかと思います。