ベクトル

質問

ベクトルA　の大きさが5.0m　西向き。
ベクトルB　の大きさが4.0m　北西に35°

ベクトルA+B　の大きさは何になりますか？

という問題で、
私は　ベクトルA＋B　を　ベクトルCとおいて、
Cx＝Ax＋Bx
　＝5+4cos(180-35)
　＝5-3.28
　＝1.72
Cy＝Ay+By
　＝0+4sin(180-35)
　＝2.29

よって、
C＝√(1.72^2 + 2.29^2）
＝2.86(m)

と出たのですが、
答えを見てみると4.2ｍになっています。
一体どこでどう間違えたのか分かりません。
間違いの指摘をよろしくお願いします。

回答No.3

aster · ベストアンサー

＞ベクトルA　の大きさが5.0m　西向き。
＞ベクトルB　の大きさが4.0m　北西に35度

ベクトルＡは大きさも方向も決まっています。しかし、ベクトルＢの方は、大きさは分かっていますが、方向が分かりません。「北西に３５度」というのは、一体、どの方向なのでしょうか？

普通に考えると、西から北西方向に35度というのが自然です。ベクトルＡを東向きにすると、「北西に35度」が、「東から北西に35度」になり、東から35度だと、北東近くです。

北を軸に考えていて、「北西に35度」とは「北から北東に35度」の間違いなら、Ａ＋Ｂの大きさは、４．２５弱になります。

しかし、どう考えても、Ｂのベクトルの方向としては文章が不可解です。自然なのは、やはり、Ａが西向きで、そこから北西の方向に３５度が、Ｂの方向であるという、最初に述べた解釈です。

この場合、南北の軸をＸ軸で、東西の軸をＹ軸とすると：

Ａ＝（－５，０）
Ｂ＝（－４cos(35)，４sin(35)）

となります。

Ａ＋Ｂ＝（－５－４cos(35)，４sin(35)）　です。

大きさですから、｜Ａ＋Ｂ｜は

√({-5-4cos35}^2＋{4sin35}^2)　　となります。

＝√(６８．５＋５２．６４)＝√(７３．７６４)
＝８．５９

この半分が４．３になりますが、それは偶然だと思います。

問題を、自然に読んで解くと、約８．５９になります。

答えを４．２に合わせようとして、Ａのベクトルを東向きにすると、Ｂのベクトルの方向の「北西に３５度」とは何のことか意味が分からなくなります。

問題か答えか、どちらがおかしいのかというと、答えがおかしいと考えた方が筋が通ります。４．２になるには、問題をかなり変えて、説明を補足しなければならないからです。

＞一体どこでどう間違えたのか分かりません。
＞間違いの指摘をよろしくお願いします。

計算式は、西向きをＸ軸の正の向きとしているのですが、ＢベクトルのＸとＹ軸の成分について、問題の文章からだと、「西から北西に３５度」が自然なのを、「東から北西の方向に、西まで３５度の角度の方向」と解釈すると、出てくる計算式です。

１８０－３５という角度は、西から北に３５度、つまり、大体北西に近い方向を、東から角度計算しているのですが、その場合、西が正の方向としていると、cos(180－35) は、マイナスの符号を付けて正にしなければならないのです。

Ａ＋Ｂのベクトルの成分計算をしようとする場合は、ＸＹ座標で、どの方向が正の方向かを決めなければなりません。

図を書いてみて、成分を考えると、間違いが起こりにくいと思います。

普通のＸＹ座標のように、左側、つまり西側をマイナスにすると：

＞Cx＝Ax＋Bx
＞　＝5+4cos(180-35)

ではなく、

＞Cx＝Ax＋Bx
＞　＝-5+4cos(180-35)

となるのです。この場合、答えがおかしいのですが、この計算もおかしいのです。

回答No.2

oshiete_goo

例えば, ベクトルAが東向きなら
東向きをx軸の正の向き, 北向きをy軸の正の向きとして
→OA=(5, 0)
→OB=(4cos125°，4sin125°)
と表せて，(4cos125°は負です)
Cx＝Ax＋Bx
　＝5+4cos125°

Cy＝Ay+By
　＝0+4sin125°
　＝4sin125°

C^2＝Cx^2 + Cy^2
＝(5+4cos125°)^2＋(4sin125°)^2
＝25+40cos125°+16{(cos125°)^2＋(sin125°)^2}
＝25+40cos125°+16
[(cosθ)^2＋(sinθ)^2＝１より]
＝41+40cos125°
＝41+40*(-0.5735...)
＝41-22.9430...
＝18.0569...
よって
C＝√18.0569...＝4.249...
などとなります．

もしかすると，元の問題か，解答のどちらかが誤っていたのかも知れません．

回答No.1

oshiete_goo

＞ベクトルA　の大きさが5.0m　西向き。
＞ベクトルB　の大きさが4.0m　北西に35°

これはどこか問題が違っていませんか? 合わないようなのですが.
北向きに立ったとして, それぞれのベクトルはどちら向きで, 北から見て何度右(あるいは左)でしょうか.