ローパスフィルタのカットオフ周波数について

質問

こんにちは。
行き詰ってしまったので質問させてください。

２次のローパスフィルタの代表的な回路の「サレンキー型」のカットオフ周波数Fcの求め方を教えてください。
アンプゲインを　K　
FcをR1　R３　C2　C4　K　を使ってあらわしたいのですが。。。。。。。

　 　　－－－－－－－－－－－－－－－
　　 　 ｜　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　＝（C2）　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
ー（R1）－●－（R3）－●－－（K)－－－－●－
　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　＝（C4)
　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　GRAND

図がわかりにくくてすいません。。
よろしくお願いします！

回答No.4

info22

参考URLをご覧下さい。
二次のLPFの二次伝達関数は
T(s)＝Hωo^2/[s^2+(ωo/Q)s+ωo^2]…(1)
と書けるから
＞T(s)＝K/ [s^2 C2C4R1R3 ＋ s{C4(R1＋R3)＋(1-K)C2R1}＋1]…(2)
と比較しやすくするため(1)を変形して
T(s)＝H/[(s^2/ωo^2)+s/(Qωo)+1]…(1')
(2)と(1')を比較すれば
＞ωo　＝ 1 / √(C2C4R1R3)
＞Ｑ　= {√(C2C4R1R3)} / {C4(R1＋R3)＋(1-K)C2R1}
の２式が出てきますよ。

なお
(2)式は以下の回路方程式から
T(s)=Vo/Viを求めれば出てきます。

K V3＝Vo　…(3)
(V2-V3)/R3＝V3 sC4 …(4)
{(Vi-V2)/R1+(Vo-V2)sC2}{R3+(1/sC4)}＝V2 …(5)
ここで、Viは入力電圧、問題の●の電圧を右からV2,V3,Voとします。

(3)のV3を(4)に代入すると(4)からV2が求まります。
求まったV2を(5)に代入すればViとVoの関係式が出てきます。
そこからVoを求めると
Vo＝T(s)Vi
の形の関係式に整理できますので
T(s)＝Vo/Vi
が導出できますね。

参考URL：

http://www.ice.gunma-ct.ac.jp/~mame/kougi/kairo/filter.pdf

回答No.3

foobar

フィルタの伝達関数をω0とQを使って、
G(s)=K/((s/ω0)^2+1/Q*(s/ω0)+1)の形で表せているので、
s->jωと置いて
G(jω)=K/[{1-(ω/ω0)^2}+j{1/Q*(ω/ω0)}]
と各周波数ωで表すことができます。
直流の利得は、G(0)=Kなので、カットオフ周波数ωcでは
｜G｜=K/√2より
｜{1-(ωc/ω0)^2}+j{1/Q*(ωc/ω0)}｜=√2
からωcを計算できるかと思います。

余談
このタイプのフィルタでは、K,R1,R3,C2,C4を個別に設定すると計算が大変なので、
K=1,R1=R3=R,C2=αC,C4=C/α
あるいは
R1=R3=R,C2=C4=C
と制限をつけて（独立なパラメータの数を減らして）扱うことが多いよううに思います。（たとえば、前者だと、独立なパラメータはR,C,αの3つ、後者だとR,C,Kのやはり三つ。フィルタの特徴的なパラメータはω0とQの２つなので、これで設計可能（R,Cでω0が、αまたはKでQが設定できるのだったかな））

回答No.2

ymmasayan

横から失礼します。

>>　カットオフ周波数(wc)でゲインが-3dBになる
>　なんでー３なんでしょうか？？
定義です。パワー　１／２　　→　－６ｄＢ
　　　　　ゲイン　１／√２　→　－３ｄＢ

お礼

ありがとうございます！
基礎知識も全然まだ養っていないもので・・・

今、伝達関数を本を読みながら解いてるんですが、、解けません。。。
お時間があったら解き方の詳細、または回答を教えていただけませんでしょうか？。。。

補足

伝達特性が
T(s)＝K　/　s^2 C2C4R1R3 ＋ s[C4(R1＋R3)＋(1-K)C2R1]＋1

ω0　＝ 1 / √(C2C4R1R3)

Ｑ　= √(C2C4R1R3) / C4(R1＋R3) ＋　(1-K)C2R1

となるみたいなんですが、この先どう進めたらいいのかわかりません。。。
伝達特性からどうやってカットオフ周波数を求めるのでしょうか？

回答No.1

foobar

まず、フィルタの伝達関数G(jw)を計算する。
(二次のLPFなので、K0/{(1-a*w^2)+jbw}のような形になるかと思います。）カットオフ周波数(wc)でゲインが-3dBになる（上記形式で表したときに、分母の絶対値が√2になる）ことを使って、wcを求める。
という手順になるかと思います。

お礼

ありがとうございます！

＞カットオフ周波数(wc)でゲインが-3dBになる

なんでー３なんでしょうか？？