木材（梁）の曲がり計算について。荷重ポイントの違いによるたわみ量の変化について。

質問

以下の条件でたわみ量を測定した場合、荷重点(1)(2)でたわみ量（Δy）がどのくらい異なるかを知りたいと思っています。
【基本条件】
　E（曲げヤング）：任意（固定とします）
　L（スパン）＝2800mm
　ΔP（荷重）＝10kgf
　h（材厚）＝34.5mm
　b（材幅）＝130mm

【比較条件】
　荷重点(1)：Lの中心点への1点集中荷重。
　荷重点(2)：Lの中心点より右に140mmずれた地点。

(1)の条件での計算は、私のような素人でも可能なのですが、(2)の条件ですと、全く検討がつきません。
できれば計算の根拠となる公式？まで教えて頂けると助かります。

簡単でわかり難いですが、荷重点は下記の通りです。
↓：荷重点
－：材料（１コマ＝140mm）

荷重点(1)
－－－－－－－－－－↓－－－－－－－－－－

荷重点(2)
－－－－－－－－－－－↓－－－－－－－－－

よろしくお願いします。

回答No.2

shinkun0114 · ベストアンサー

＞曲げモーメント図は書けません。物理に関しては全くの素人で、パラメータの意味を少しと数式での計算の仕方がわかる程度です

そうですか。そうなると、1番目に関しては簡単に出ますが、2番目はちょっと難しいですね。
一応言葉の意味は説明しておきます。
・曲げモーメント図
　曲げモーメントは一定ではありません。
　場所によって異なります。

・単純梁
　梁の両端を2つのヒンジ支点で支えている梁です。
　　______________________
　△　　　　　　　　　△

・共役はり
　これは曲げモーメント図がわかってないと説明のしようがないので、省略します。

・載荷して
　載荷は荷重を載せることです。荷重を作用させると同義です。

＞視点を変えて。。。たわみ（Δy）を求める式で、
＞1点中央集中荷重　Δy=(WL＾4)/(48EI)

これは1番目にそのまま使えます。
　w = 10kgf
　L = 2.8m
　E :ヤング係数
　I = 1/12 × b ×h^3
　　= 1/12 × 0.13 × 0.0345^3
　　= 4.449 ×10^(-7) m4

＞2点荷重　Δy=(23WL＾4)/(648EI)
2点荷重というのがよくわかりませんが、おそらく荷重が二つ作用するものではないでしょうか。
式の中に位置のパラメータが入っていないので、2番目のような非対称の荷重を考えることはできないと思います。

(2)の式を示しておきますので、計算してください。
なお、(2)の場合、たわみの最大値は荷重を載せた場所に出るとは限りません。

Δymax = PL^3×β(1-β^2)×√(3 ×(1-β^2) / (27EI)

ここで、
β= b / L
　 = 1.26 / 2.8

お礼

返信が遅くなり大変申し訳ありません。
完全に理解できたわけではありませんが、計算式を教えていただいたことで非常に助かりました。
曲げモーメント図に関してもこれから勉強し、総合的に理解できるようにしたいと思います。
お忙しい所、本当にありがとうございました。

回答No.1

shinkun0114

質問者さんは曲げモーメント図は描けますか？
モーメント図が描ければ、単純ばりのたわみは簡単に求まります。

●まずは曲げモーメント図
　具体的な数値が上がっていますが、とりあえず記号で示します。
(1)の場合
　支間中央に荷重が作用する単純梁ですから、最大の曲げモーメントは支間中央で、
　　M1=1/4 × ΔP・L
　を頂点とした三角形になります。

(2)の場合
　荷重作用点が支間中央を外れていますが、同様に荷重作用位置を頂点とした
　三角形分布の曲げモーメント図になります。このとき、荷重作用位置の曲げモーメントは、
　　M2= ΔP・a・b / L
　ここに、
　　a : 左側の支点から荷重作用位置までの距離
　　b : 右側の支点から荷重作用位置までの距離
　です。

条件を代入してみましょう。
　ΔP = 10kg
　L = 2.8m
　a = 1.54m
　b = 1.26m

　M1= 7kgf・m
　M2= 6.93kgf・m

●共役はりを使ってたわみを求める。
　単純梁のたわみを求めるには、共役梁が便利です。

　共役梁は仮想梁のひとつで、曲げモーメントをEIで割ったものを載荷して、
　曲げモーメントを求めると、得られた答えがたわみになるというのものです。
　(Iは断面二次モーメント）

　共役梁は構造によって異なりますが、単純梁の共役梁はそのままの単純梁になります。
　したがって、先ほど求めた曲げモーメント図は三角形分布になりましたが、
　この三角形分布で、(1)ではM1/EI、(2)ではM2/EIを頂点とすると三角形分布荷重を載荷し、
　それで各位置の曲げモーメントを求めればよいのです。
　共役梁から得られた曲げモーメントは、すなわちたわみになります。

参考URL：

http://www.ms.t.kanazawa-u.ac.jp/~design/hojo/zairiki/text/02Beam/kyoyaku.htm

補足

ご回答ありがとうございます。
曲げモーメント図は書けません。物理に関しては全くの素人で、パラメータの意味を少しと数式での計算の仕方がわかる程度です。
以下の言葉の意味が分からず、理解に時間がかかっています。
参考URLも見てみましたが、少し時間がかかりそうです。
・曲げモーメント図
・単純梁
・共役はり
・載荷して
視点を変えて。。。たわみ（Δy）を求める式で、
1点中央集中荷重　Δy=(WL＾4)/(48EI)
2点荷重　Δy=(23WL＾4)/(648EI)
という式を教えてもらったことがあるのですが、
例えば、今回質問させていただいたケースでは（荷重(2)）、上記の式の分子、分母の整数部分はどのように変化するのでしょうか？