判断推理の命題について

質問

こんばんは★何度考えても分からない問題があったため、この場を借りて質問させていただいています。

問題：食料品調査の一環として、主な香辛料A～Eについてカレー店100軒のカレーを調査したところ、いずれの店にも当てはまる共通の調査結果としてア、イ、ウが判明した。これらから確実にいえるのはどれか。

ア・香辛料Aを使用し、かつ、それに加えて少なくとも香辛料Bか香辛料Dのいずれかを使用している場合は、香辛料Cを使用していない。
イ・香辛料Bも香辛料Eも使用していない場合は、香辛料Aも使用していない。
ウ・香辛料Eを使用している場合は、香辛料Dも使用している。

１・香辛料Aと香辛料Eをともに使用している場合は、それらに加えて香辛料Cも使用している。
２・香辛料Bを使用して香辛料Cを使用していない場合は、香辛料Aを使用している。
３・香辛料Cと香辛料Eをともに使用している場合は、それらに加えて香辛料Aも使用している。
４・香辛料Aと香辛料Cをともに使用している場合はない。
５・香辛料Bと香辛料Dをともに使用している場合はない。

答えは４です。分かる方がいましたら、解き方を教えてくれませんか。よろしくお願いします。

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

集合の図を書いて考える方法もありそうですが、ここでは図がかけないので次のように考えてみます。

簡単のため、「香辛料Xを使っている」ということを X と書きます。

まず前提としてよい命題を書くと、

ア： A and (B or D) ⇒ not C
イ： (not B) and (not E) ⇒ not A
ウ： E ⇒ D

この対偶も成り立つので、
ア： C ⇒ not [A and (B or D)] を変形していくと、
　　 C ⇒ not A or not (B or D)
　　 C ⇒ not A or (not B and not D)
イ： A ⇒ not [(not B) and (not E)] ⇒ B or E
ウ： not D ⇒ not E

これらを組み合わせて、１～５が導けるかを考えます。

ここで使ったのは、
X ⇒ Y の対偶が not Y ⇒ not X であることと、
not (X and Y) ←→ not X or not Y
not (X or Y) ←→ not X and not Y
の規則だけです。（集合の図を描いてみるとわかります。）

１．A and E ⇒ C
　　上の六つの中に、最後に ⇒ C となるものがないので、それらをどう組み合わせてもこれを導けません。

２．B and not C ⇒ A
３．C and E ⇒ A

　　この二つも、最後に ⇒ A となるものがないので、やはり導けません。

４．A and C がありえないということは、
　　A ⇒ not C と C ⇒ not A のどちらかが言えればよいわけです。

　　イの対偶は、A ⇒ B or E
　　ウより E ⇒ D なので、
　　A ⇒ B or D、すなわち、(A and B) or (A and D) が成り立ちます。
　　すると、アより ⇒ not C がいえます。

　　つまり、Aを使うとき、Cを使わないと言えたので、
　　AとCを同時に使うことはないわけで、４が成り立つことが言えます。

５．B ⇒ not D か D ⇒ not B が言えればよいのですが、

　　最後に ⇒ not D となるのは、可能性として、アの対偶しかないですが、not A と or になっているので、not A を否定、つまり A をいえなければ、最終的に ⇒ not D が確実には言えません。ところが、⇒ A になるものが一つもないので、無理です。

　　同様に ⇒ not B も言えません。

以上より、４だけが確実に成り立ちます。

文章にすると長いのですが、言っていることは単純です。

お礼

こんばんは。

とても丁寧な回答、ありがとうございます！！よく理解できました。

少しお聞きしたいのですが、

イの対偶は、A ⇒ B or E
　　ウより E ⇒ D なので、
　　A ⇒ B or D、すなわち、(A and B) or (A and D) が成り立ちます。
　　すると、アより ⇒ not C がいえます。

ということは、A→BorDと、アから、
A→BorD→notCということにもなりますか。

回答No.3

aquarius_hiro

ANo.2です。

>　　A ⇒ B or D、すなわち、(A and B) or (A and D) が成り立ちます。
>　　すると、アより ⇒ not C がいえます。
>
>ということは、A→BorDと、アから、
>A→BorD→notCということにもなりますか。

おっしゃるとおりです。
そのほうが簡単でしたね(^^)

お礼

aquarius_hiroさん、こんばんは。返信ありがとうございました。

とんでもないです！！

おかげさまで、解けるようになりました。

回答No.1

koko_u_

こんな風

香辛料Ａを使用している場合に◯をつけて

ＡＢＣＤＥ
◯◯◯◯◯
◯◯◯◯×
◯◯◯×◯
…
×××××

と 2^5 = 32 通りのパターンがまずは考えられる

ア. の条件を書き出せば

ＡＢＣＤＥ
◯◯×◯？
◯◯××？
◯××◯？
×？？？？

ということ(？は◯、×どっちでも良い)

こんな風にイ. ウ. の条件も書いてすべてを満たす◯×のパターンを確定してから、１．～５. のいずれかが当て嵌まるかを考える。

お礼

こんばんは。

とても丁寧な回答をくださり、ありがとうございます。

参考になりました。