数学（数的処理） 速さ

質問

こんばんは。
速さの問題です。

【問題】
Ａ，Ｂ，Ｃ　の３人は池の周りを毎日マラソンしている。ある日，Ａは右回りに，Ｂ，Ｃは左回りに，Ｐ地点から同時に出発し，Ａが１２周してＰ地点に達したとき，ちょうどＢ，Ｃに出会った。ＡがＰ地点で出会うのは，Ｂとはこのときが初めてであり，Ｃとは２度目であった。Ｂ，Ｃがそれまでに何周したかについて，ありうる組み合わせはどれか。ただし，３人ともそれぞれ一定の速さで走ったものとする。
　　　　Ｂ　　　　Ｃ
(1)　　６周　　　８周
(2)　　６周　　　10周
(3)　　７周　　　９周
(4)　　７周　　　10周
(5)　　９周　　　８周

【現時点での現状】
まったく何を文字で置いて式を立てていけばいいのかが分かりません。ただＣとは2度目ということはＡが６周目の段階で１度出会ってるということですよね？
その考えからして間違ってるのでしょうか・・・。うーん。

どなたかアドバイス・解法をご教授ください。宜しくお願いします。

ちなみに正解は「４」です。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

選択肢がなくても解ける方法です。

　Ａが１２周する間にＢとは一度もＰ地点で会わなかったので、それまでのＢの走行周は１２（＝2^2×3）と互いに素な数になるので、
　　１周、５周、７周、１１周、１３周、１７周、・・・
となります。
　同様に、ＡとＣはＡが６周したときに初めてＰ地点で会っているので、Ａが６周するまでのＣの走行周は６（＝2×3）と互いに素な数になり、
　　１周、５周、７周、１１周、１３周、１７周、・・・
となるので、Ａが１２周するまでのＣの走行周は、その２倍になり、
　　２周、１０周、１４周、２２周、２６周、３４周、・・・
となります。

　ここで、与えられた選択肢と比較しますと、Ｂについては７周だけが該当し、Ｃについては１０周だけが該当します。
　これを満たす選択肢は(４)で、答えが導かれます。

お礼

ありがとうございますっ！！
なるほどお！約数をもたない「互いに素」を考えるのですね！
大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

coffeebar

これは最大公約数の問題ですね。

Aが12周した時点で最大公約数の回数分、P地点で会っていることになります。
Bとは12周目で始めて会ったのですから、最大公約数は1。ということで7周に決定。
Cとは2回会っているので最大公約数が2。つまりCは10周走ったことになります。

お礼

ありがとうございます。
最大公約数には気付きませんでした。
いろいろな解き方があるのですね。
てっきり速さで解くものだと。汗
ありがとうございました。

回答No.2

debut

時間を中心にして考えるとすっきりしそう。

仮に、Ａは１周１分とすれば、ＡがＰ点を通過する
のは１から１２までの整数分。
Ａが１２周する１２分で、
Ｂはｂ周するとすれば、１周するのにかかる時間は１２/ｂ分。
Ｃはｃ周するとすれば、１周するのにかかる時間は１２/ｃ分。
ここから、ｂ、ｃは１２の約数でないことは明らか。
（たとえばｂ＝６とすると、２分後にＡと出会う）
次に、ｂ＝９でないこともわかる。なぜなら、Ｂの１周時間
が１２/９＝４/３となり、Ｂが３周すると４分で出会い、
Ｂが６周すると８分で出会い、Ｂが９周すると１２分で出会い
と３回会うことになるから。
よって、選択肢からＢは７周。
次に、ｃ＝９ではない。（上の様に３回出会うから）
ゆえに、選択肢から（４）。

お礼

ありがとうございます。
時間を中心に考える。
時間中心に解いてみてすっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.1

kkkk2222

消化不良ですが、５択で解があるとして、
まず、＜右回り、左回り＞は無視してよい。

仮に、３人の所要時間は６０分と、します。
Ａが点Ｐに到着するのは、５分の倍数、
５、１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５、５０、５５、６０分後の１２回。

Ｂが６周と仮定すると、
１０、２０、３０、４０、５０、６０分後に点Ｐに到着するので矛盾。
Ｂが９周と仮定すると、（６０／９）分の倍数で点Ｐに到着する。
３、６、９週目が、２０、４０、６０、で三回出会い矛盾。
Ｂは７周となる。（６０／７）分＊７周で点Ｐに到着。

Ｃが９周と仮定するると、上記のとおり、２０、４０、６０分後で三回出会い矛盾。
Ｃが１０週と仮定すると、
６０／１０＝６、　６の倍数分後に点Ｐに到着する。
６、１２、１８、２４、３０、
３６、４２、４８、５４、６０、で　３０と６０分で点Ｐに到着するしＯＫ。

で　(4)　７周　10周　が解と・・・

お礼

ありがとうございます。
非常に丁寧な説明で助かりました。
時間を固定してそれぞれの選択肢で場合わけして考えていくのですね。ありがとうございました。
大変参考になりました。