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楕円の曲率について
楕円の曲率を計算してみたのですが、 曲率が一番大きな箇所・・・長径の端点 曲率の最も少ない箇所・・・媒介変数表示による角度で大体45°を超えた あたり の結果がでました。短径の端点が曲率最小とならなかったのが不思議です。 計算結果を検証する方法はないでしょうか。作図でも構いません。 URLのご提示でも構いません。
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質問者が選んだベストアンサー
質問者さんの結論は正しくないようですね。 以下で検証してみてください。 ●楕円の任意点での作図法 http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html ●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1) この縮閉線は次のようになります(参考URL)。 (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2-b^2)^(2/3)…(2) a,bに具体的な値を入れて2曲線を作図して(2)の法泉を引いて曲率半径を図れば確認できます。 楕円の曲率半径は計算で出ますよ。 2a=長径、2b=短径(a>b)、とすると、 x = acos(t), y = bsin(t), t:真円の場合の角度(rad単位) 曲率:k = ab / (a^2 sin(t)^2 + b^2 cos(t)^2)^(3/2) 曲率半径:R = 1 / k で曲率半径:Rが計算できます。ここで、x = acos(t), y = bsin(t) t=π/2(90度)のとき、k2=b/a^2(最小曲率)、R2=a^2/b(最大曲率半径) t=0のとき、k1=a/b^2(最大曲率), R1=b^2/a(最小曲率半径) t=π/4(45度)のとき、k4=ab(2√2)(a^2+b^2)^(-3/2), R4=(a^2+b^2)^(3/2)/{ab(2√2)} となります。a=2,b=1の場合計算してみると R2=4 ,k2=1/4=0.25, R1=1/2=0.5 ,k1=2, R4=(5/8)√10=1.9764…, k4=(4/25)√10=0.5059… となります。
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本当にありがとうございました。