PLL回路の伝達特性の合成

質問

PLLについて勉強しているのですが下記本によると、
http://www.amazon.co.jp/PLL%E5%9B%9E%E8%B7%AF%E3%81%AE%E8%A8%AD%E8%A8%88%E3%81%A8%E5%BF%9C%E7%94%A8%E2%80%95%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E5%AE%9A%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%AE%97%E5%87%BA%E6%96%B9%E6%B3%95%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E6%A4%9C%E8%A8%BC-%E9%81%A0%E5%9D%82-%E4%BF%8A%E6%98%AD/dp/4789833453

ループフィルタを除く各要素の伝達特性が、
位相比較器:Kd=0.398　(V/rad)
VCO:Kv=130.2k (rad/s・V)
分周器:N=50
の場合、
合成伝達特性は、
(Kd・Kv)/N = 1.036k (rad/s) -----(1)
単位をHzに変換するため2πで割って
(Kd・Kv)/(2π・N) = 165Hz ------(2)
となるとしています。

(1)の単位は(1/s)=(Hz)となるのが正しいと思うのですが、これ以降も全て(2)をHz単位の伝達特性として扱っています。本の通りなのでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

(1)式の単位にでてくる、radと、Kd,Kvにでてくるradは別のものをあらわしてます。(Kd,Kvで使っているradは発信器などが出力する(正弦)波の位相、(1)式は、系の応答に関する位相）

N/(KdKv)は系の時定数なので[単位s]になります。
で、時定数の逆数ですが、周波数[cycles/s]ではなくて、角周波数[rad/s]になります。
(振動をあらわすexp(jωt)と減衰発散を表す exp(-t/T)の関係から、時定数の逆数1/Tと角周波数ωが対応が読み取れるかと思います。）
このため、(1)式では、あえて[rad/s]の単位を使っているのではないかと。
（個人的には、時定数の逆数という意味で、単に[1/s]とするほうが良いのではないかと思いますが。制御関連の書籍でも、角周波数の単位を[1/s]にすることも多いようですし。）

回答No.4

himara-hus

質問の意味が少し分かりづらいのですが、本の内容が見られないので、上記内容から推察すると、本の内容は正しいと思います。
ＰＬＬは、位相比較器を用いて位相制御により、周波数を安定させる回路ですから、位相を扱う部分の単位は（rad）、位相を微分したところをわかりやすく(rad/s=２πＸHz)としているようで、周波数を扱う部分の単位は(Hz)になります。
分かりにくいのは、ＶＣＯは電圧で周波数を制御できるものですが、計算が分かりやすいように(rad/s)と書いているためでしょう。また、位相比較期は位相差に対する出力電圧です。その間に伝達関数（積分回路）が入いります。

お礼

みなさんの回答を何度も読み直して少しずつ理解できてきました。
ありがとうございました。

回答No.3

foobar

時定数と角周波数の関係に関して補足

（伝達関数を扱われているので、こちらのほうが適切かな）
時定数Tの微分回路、積分回路を考えると、その周波数応答は
jωTや1/(jωT)になります。
ここで、振幅応答(周波数応答の絶対値）が１になる条件を見ると、
ωT=1　となって、ω0=1/Tがこの微分、積分回路の特性(角)周波数になっています。
このように、1/Tは角周波数として扱うのが妥当ということになります。

お礼

計算上は(1)の単位は1/sとなるが意味はrad/sととらえるべき、と理解しました。

foobarさんには以前にもPLLの質問に回答を頂いており、毎度助かっています。
どうもありがとうございました。

回答No.1

foobar

1のrad/sは角周波数(角速度)を表しますから、単位Hz(あえて古典的な表記をすると、cycle/s)の周波数に換算するには2πで割る必要があります。
(角周波数ω、周波数fとすると、ω=2πf）

角度radは無次元の単位なので、一見すると、2πで割る必要が無いようには見えますが、1サイクルの円運動で角度は2π[rad]変化しますので、その分の換算が必要になります。

補足

ありがとうございます。
補足します。
上のKdとKvの単位からすると(Kd・Kv)/Nの単位はHzになるのではないかという意味で質問させて頂きました。