座標の和に関する証明

質問

原点をo(0,0)とし、a(ax,ay),b(bx,by)という点を取ります。
このとき、cという点を四角形oacbが平行四辺形になるように取ると、cは、c(ax+bx,ay+by)という、座標を取りますが、cが必ず、このような座標を取ることは、どの様に証明したら良いのでしょうか？

どなたか解答お願いします。

回答No.2

TaRSu · ベストアンサー

まあ＃１さんはベクトルの足し算そのものだって方針だけ示したんでしょうけどね…。
厳密さを求めてるなら、図形的に求める方法でいきましょうか。

方法１：
ＯＡＣＢ平行四辺形なので、ＯＡとＢＣとは平行で長さが同じ。
ＯＡを斜辺として他の二辺がＸ軸・Ｙ軸に平行な直角三角形を考えると、その三角形は、ＢＣを斜辺として他の二辺がＸ軸・Ｙ軸に平行な直角三角形と合同。（斜辺の長さと斜辺に接する角度が同じ直角三角形）
あとは図がないと記号を書くのが面倒なので（ここまで来れば分かるでしょうしここは厳密な証明が必要な場でもないですから）略。
直角三角形が作れない場合分けは必要だけど簡単なので略。
とにかく、そんな感じにすれば、ＢからＣへ変位するときの座標がＡと同じだと得られるので、あとはＢの座標に足すことでＣの座標自体が求められます。

方法２：
平行四辺形の対角線の交点は互いに二分する。
その交点をＳとすると、ＳはＡＢの中点なので( (ax+bx)/2 , (ay+by)/2 )と表せる。
またＳはＯＣの中点でもあるので、Ｃの座標は( ax+bx , ay+by )。
ＱＥＤ

方法３：
ＯＡＣＢ平行四辺形なのでベクトルＢＣ＝ベクトルＯＡ
したがってＯＣ＝ＯＢ＋ＢＣ＝ＯＢ＋ＯＡでおわり。

まあ色々ありますけど、「ＯＡＣＢが平行四辺形だ」という条件からちゃんと要素を取り出せばいかようにも解けます。

お礼

方法1・2の解が自分の条件には適切だったので、3つも、方法を書いてくださって助かりました。
自分としては、この問題は、ベクトルの和が、何故必ず対角成分の座標の和として出るのかということが知りたかったため、ベクトルの法則を利用することは根本的にできない問題である、ということを記述しておくべきでしたね＾＾；

回答No.1

N64

図を描いてみると一目瞭然です。
Ｃ＝Ａ＋Ｂになります。

お礼

回答どうも有り難うございます。
ただ、図を書いたら分かるというのでは、自己満足であって、証明ではないかと思いますが・・・＾＾；