ガウス形とローレンツ形

質問

波形でよく出てくるガウス形とローレンツ形ですが、これら半値幅とピークの高さがわかれば形が決まりますよね。
そこで、半値幅とピーク高さの値が求まったとして、面積を求めたいと思っています。半値幅とピーク高さでガウス形とローレンツ形の面積を表わすことができるのでしょうか？面積の公式ってあるのでしょうか？

数学に詳しい方、よろしくお願いいたします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)　　G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です．中心は x=0 としています．
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)　　S = ∫{-∞～∞} G(x) = (A/a)√π
です．
一方，ピーク値はもちろん A，
半値幅 w は，高さがピーク値の半分になる幅ですから，
x=±w/2 で G の値が A/2．
すなわち
(3)　　exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で，これから
(4)　　w = 2√(ln 2)/a　　⇔　　a = w/2√(ln 2)
です．
(4)を(2)に代入して，ピーク値 A を考慮すればできあがり．

ローレンツ(Lorentz)型は
(5)　　L(x) = B/(x^2 + Γ^2)
の形．前と同じく中心は x=0 としています．
ピーク値は x=0 とおいて B/Γ^2 ですね．
こちらも面積の積分は簡単で
(6)　　S = ∫{-∞～∞} L(x) = Bπ/Γ
半値幅は
(7)　　B/{(w/2)^2 + Γ^2} = (1/2) B/Γ^2
から
(8)　　w = 2Γ　　⇔　　Γ = w/2
(6)に(8)を代入して，ピーク値 B/Γ^2 を考慮すればできあがり．

お礼

物理関係でSiegmundさんの回答をたくさんお見かけしています。
とてもご丁寧に回答していただいてありがとうございました。公式どおりに計算すれば得られるものだったのですね（もっと難しいと思っていました）
本当にありがとうございました。