教えてください。

質問

中学３年生の「相似を使った図形の計量問題」で
つまづいて、すごく困っています。
周りに聞く人もいないので、誰か、教えてください。
よろしくお願いします。

(問題）
OA＝9ｃｍ、AB＝8ｃｍの正四角すいである。
辺OA、OB、OC、ODの中点をそれぞれ、P、Q、R、ｓとするとき
次の問いに答えよ。

（１）四角形PQRSの面積を求めよ。
（２）四角形ABCDを底面とする正四角すいO-ABCDの高さを求めよ。

（解答）
（１）四角形PQRSの面積は
四角形ABCDの面積の2分の1の2乗＝「4分の1」だから
8の2乗×4分の1＝16（平方センチメートル）

※ここで、わからなかったのは、どうして、2分の1とわかったので
しょうか？また、その2分の1を2乗し、さらに、8ｃｍまで2乗して
計算したのは、なぜでしょうか？

（２）頂点Oから底面の四角形ABCDに垂線OHをひくと
△OAHでOA=9ｃｍ、AH=4ルート2だから、三平方の定理により
OH=ルート49＝7（ｃｍ）

※AH=4ルート2というのは、どうやって求めるのでしょうか？
それさえ理解できれば、この問題はわかるのですが・・・。

たくさん、質問しちゃってごめんなさい。
試験まで、あと3週間になってしまい
少し、焦っています。
見にくい文章になってしまい、すみませんが
どうか、よろしくお願いします。

回答No.7

hestia · ベストアンサー

再び家庭教師のお兄さんです(^^;
さっそく回答へ…

（１）
>※ここで、わからなかったのは、どうして、2分の1とわかったので
>しょうか？また、その2分の1を2乗し、さらに、8ｃｍまで2乗して
>計算したのは、なぜでしょうか？

正四角錐の側面、「三角形ＯＡＢ」を考えてください。
ＯＡの中点にＰ、ＯＢの中点にＱがあるはずですよね。
ＰＱを線で結ぶと「中点連結定理」が使える形になりますよね？
よってＰＱ//ＡＢ、ＰＱ＝(２分の１)ＡＢ…(1)となるわけです。

次に三角形ＯＡＢと三角形ＯＰＱについて考えましょう。
点Ｐ，ＱはそれぞれＯＡとＯＢの中点ですから
ＯＰ＝（２分の１）ＯＡ…(2)，ＯＱ＝（２分の１）ＯＢ…(3)
ですね。(1)，(2)，(3)より三角形の三辺の長さの比がそれぞれ等しいので
三角形ＯＡＢ∽三角形ＯＰＱといえる、わけです。

同様に正四角錐ですから
三角形ＯＢＣ∽三角形ＯＱＲ，三角形ＯＣＤ∽三角形ＯＲＳ，三角形ＯＤＡ∽三角形ＯＳＰも言えます。
これで四角錐Ｏ－ＡＢＣＤと四角錐Ｏ－ＰＱＲＳは相似であることが納得していただけるでしょうか？
（立体の相似の証明を文章で正確にやるのはちょっと難しくって(苦))
よって底面の部分である四角形ＡＢＣＤと四角形ＰＱＲＳは相似ですよね。
線分の長さの比は２分の１、ということがわかるので
相似な図形の面積比は「線分比の２乗」で（４分の１）となるわけで、
四角形ＰＱＲＳの面積＝四角形ＡＢＣＤの面積×（（２分の１）の２乗）
というわけだったのです。
四角形ＡＢＣＤの面積は、一辺が８ｃｍですから８×８ですね。
（Ｏ－ＡＢＣＤが正四角錐ということですから、
　底面の四角形ＡＢＣＤは「正方形」になっています。
　つまり縦も横の長さも等しい）

（２）
>※AH=4ルート2というのは、どうやって求めるのでしょうか？
>それさえ理解できれば、この問題はわかるのですが・・・。

正四角錐の頂点Ｏから底面ＡＢＣＤに垂線を下ろすと
四角形ＡＢＣＤの中心に落ちてきます。
つまり点Ｈは四角形ＡＢＣＤの中心、対角線ＡＣの中点および対角線ＢＤの中点です。
（もちろん、四角形ＡＢＣＤは正方形だからです。）
三角形ＡＢＣを考えると点ＨはＡＣの中点ですから
ＡＨの長さはＡＣの半分のはずですね。
そこで三平方の定理より
（ＡＣの２乗）＝（ＡＢの２乗）＋（ＢＣの２乗）
　　　　　　　＝６４＋６４
　　　　　　　＝１２８
両辺ルートして
ＡＣ＝８ルート２
ですね。ＡＨはこれの半分、
ＡＨ＝（８ルート２）／２
　　＝４ルート２
となるわけです。
ああああーーー、長くなってしまいました。ごめんなちゃいm(_._)m

お礼

前回に続き、どうもありがとうございました。
とても、見やすく、わかりやすく、親切に教えてくれるので
助かりました。
特に、ほかの方の解答では見られなかった
↓の部分が助かりました。

>次に三角形ＯＡＢと三角形ＯＰＱについて考えましょう。
>点Ｐ，ＱはそれぞれＯＡとＯＢの中点ですから
>ＯＰ＝（２分の１）ＯＡ…(2)，ＯＱ＝（２分の１）ＯＢ…(3)
>ですね。(1)，(2)，(3)より三角形の三辺の長さの比がそれぞれ等しいので
>三角形ＯＡＢ∽三角形ＯＰＱといえる、わけです。

この部分は、私の持っている問題集の解答には
掲載されていないんです。
前に、答えも大切だけど、もっと大切なのは
その過程だと教えてもらってから
こういう部分をおろそかにせず
勉強することにしています。

（２）は、三平方の定理を使えば
以外に簡単に求めることが出来る問題なんですね。
図形には、たくさん時間をかけてますが
まだまだ、過去問が解けるとこまできてないので
もっと頑張って勉強しようと思っています。

独学で勉強していると
わからない問題にブチあたった時
すごく不安でしたが
ここでは、皆さんがわかりやすく丁寧に教えてくれるので
とても助かります。

また、質問するかもしれませんが
その時はよろしくお願いします。

回答No.8

muni2

受験勉強ですか？だったらラストスパートですね。ふぁいと！
　三角形の問題が苦手のようですが三平方の定理が理解できていますか？

　では、まずお答えから。
　１．面積PQRSがなぜ4分の１になるのか。着目は、三角形OABです。底辺が８センチその他の辺が9センチと9センチの2等辺三角形ですね。ここで辺ABに中点Eというのを書き込んでみてください。点Pは辺OAの中点ですね？
　PQEを結ぶと、合同の三角形が4つ見えてきませんか？それがわかれば問い１は終わりです。
　まだ分からなかったら、ヒント２．
　辺PQは辺ABの2分の１です。（証明は後で。）正方形は1辺かける１辺だから、2分の１かける2分の１で4分の１。正方形PQRSは正方形ABCDの4分の１が分かったので、正方形ABCDの面積を求めましょう。1辺が8センチなので、８かける８ですね？
　つまり８の２乗×４分の１です。

　辺PQは辺ABの2分の１　証明
　三角形OPQと三角形OABは２等辺三角形でその２辺の挟角が等しいので、相似である。OAはOPの２倍、OBはOQの２倍であるので、ABはPQの２倍である。終

　問い２．四角形ABCDに着目。AとC、BとDを結んでください。真中にある交差点が点Hになってますね。（どうしてそれがHだと確信がもてるのだ！と思う？それなら終わりまでよんでね）
　三角形HABは挟角９０度の直角２等辺三角形です。ルート２はここからでます。
　辺AH：辺HB：辺AB＝１：１：ルート２。（←重要！）辺AHの求め方は比を使います。ABが８センチなので、８：ルート２＝辺AH：１これを分数の形で作る人がおおいですが、理論がわかるので私はいつもこうしてから分数になおします。書くのは分数の形の式からでいいです。計算するとAHは４ルート２。

　次はラスト。三角形OHAです。点Hは点Oから垂直に降ろした足なので、角OHAは直角（９０度）。３平方の定理より、９の２乗＝４ルート２の２乗＋OHの２乗。これを計算すると（←これは自力でがんばって展開して！）OHは７ですね。

　点Hはなぜ交差点か？
　正四角すいの定義はここからきています。正四角形の中点を垂直に伸ばした点を四角のそれぞれの点で結んだものが四角すいだから。

　ところで四角すいの体積の計算は３年までに学習するのでしょうか。（私のころはしましたが。）もし習っているのなら体積の計算方法も合わせて例題を復習しましょう。

　発展１。さっきは点Pは辺OAの中点（２分の１）でしたが、３分の１、３分の２になったらどうなるでしょうか？（びびらないで余裕をもってね）
　さっき中点Eというのを作って合同な三角形を４つ作りましたね。それにもう５つ書き足して９こにしてください。そうすると「倍」のイメージがつかめますよ。

　発展２。正三角すいでは中点はどうなるか？正三角形ABCのBCの中点に点EをつくりAEを結ぶ。同じようにBとCからも垂線を引く。交差点が中点。

　ではがんばってください。風邪には気をつけてね（＾＾）/~~

お礼

この問題の解答だけでなく
苦手な図形に対処する方法まで書いてくださり
本当にありがとうございました。

発展問題を見て
私、だいぶビビってます（汗）

おかげさまで
この問題に関しては、理解することが出来ました。
でも、三平方の定理をもう１度
復習をしてから、次に進もうと思っています。
受験日まで、あと３週間ぐらいなんですが
図形だけが、遅れていて
焦っていますが、それでも、頑張ろうと
思っています。

風邪・インフルエンザが流行っているので
気をつけないといけませんね。
（看護学校を受験するので
特に、風邪だけは気をつけないと・・・
自己管理が悪いと言われるので＾＾）

図形が苦手なので
また、質問するかもしれませんが
そのときはよろしくお願いします。

回答No.6

novaakira

（２）の回答
AHの求め方ですが、
正方形に対角線を描くと(例えばABCDで対角線ACを引くとすると)
ΔABCは正三角形になりますよね。しかも∠Bが90度で∠Aと∠Cが45度
という特殊な正三角形になります。この場合、各辺の割合が
AB:BC:AC＝1：1：√2
となります。
よってABは8センチなのでACは8√2となります。
頂点Oから垂線OHをひいたのであれば点Hはかならず正方形の中心に
くることになり、AH＝0.5×AC＝4√2となります。
また三平方の定理とは、直角三角形ABCがあるときに
AB^2 + BC^2 = AC^2
という式が成り立つのです。
これを利用すると
8＾2 + 8^2 = AC^2
AC^2 = 64+64
AC~2 = 128
√(AC^2) = √128
AC = √(64 × 2)
AC = 8√2
となりAHはその半分だから4√2となる。

今度は直角三角形OAHと見てみる。
ここでも3平方の定理を利用し、
AH^2 + OH^2 = OA^2
OH^2 = OA^2 - AH^2
OH^2 = 81 - 32
√(OH^2) = √49
OH = 7cm
となります。

お礼

色んな解答方法を書いてくれて
すごくうれしかったです。
私としては、三平方の定理から求めるやり方が
１番わかりやすかったので
こちらで、勉強していこうと思っています。

図形の問題について
私が受験する学校は異例というぐらい
たくさん出題されていて
あまりの自分の出来なさに
くじけそうになりますが
負けないように頑張っていこうと
思っています。

私は、独学で勉強していて
わからない問題があっても聞く人もいないので
本当に、助かりました。
どうも、ありがとうございました。
また、質問するかもしれませんが
その時は、よろしくお願いします（笑）

回答No.5

novaakira

まず（１）の回答から。

＞（１）四角形PQRSの面積は
＞四角形ABCDの面積の2分の1の2乗＝「4分の1」だから
＞8の2乗×4分の1＝16（平方センチメートル）

わかりやすく説明すると、
正四角すいなので底面は正方形です。すなわち
AB=BC=CD=ADです。

辺OA、OB、OC、ODの中点をそれぞれ、P、Q、R、Sとする
と書いてあるので
OP=0.5×OA　　(a)
OQ=0.5×OB　　(b)
OR=0.5×OC　　(c)
OS=0.5×OD　　(d)
が求まります。
次にΔOABとΔOPQをみてみると
式(a)と(b)より相似であるといえる。よって
PR=0.5×AB　　(e)
となる。 ・・・2組の辺の比が等しく、そのはさむ角が等しいより
以上よりPR=RQ=QS=PS=４ｃｍとなる。
底面ABCDが正方形なら四角形PRQSも正方形になるので
四角形の面積は４×４＝１６平方センチメートルとなる。

四角形ABCDの面積の2分の1の2乗とかかれているのは、
これを省いて説明をしているわけです。
四角形ABCDの面積の2分の1の2乗というのは
ただ、単に三角形の相似関係を利用して、PRはABの2分の1、
RQはBCの2分の1、それらを掛けたら「元の四角形ABCDの面積8の2乗」
より「4分の1」倍ってわけです。これはちょっと難しい答えですね。

わからなければもっと詳しく載せますので。

お礼

おかげさまで
理解することが出来ました。
ただ、△OABと△OPQが相似ということは
わかるんですが
相似条件がほかの方と違うので
この点は、どうなのかなぁ・・・と
思っています。
でも、この条件は、自分で解けば理解できるので
だいじょうぶです（笑）
（１）と（２）をわけて書いてくださり
見やすかったです。
助けていただき、ありがとうございました。
これで、また、頑張れそうです！！

回答No.4

noname#7269

四角形ＡＢＣＤと四角形ＰＱＲＳの相似比を求め、それから面積比がわかり、四角形ＡＢＣＤの面積がわかっているから、四角形ＰＱＲＳもわかる。このような流れです！

まず相似比ですが、三角形ＯＡＢと三角形ＯＰＱより、
ＡＢ：ＰＱ（そのまま、四角形ＡＢＣＤと四角形ＰＱＲＳの相似比になる）＝２：１ですよね。
ここまでいいですか？
とすると、面積比は２乗ですから、４：１になります。
（相似比は長さの比なので、面積は例えばたて、よこと長さを２回掛けるので長さの比の２乗になり、また体積比は、例えば、たて、よこ、たかさ、と長さを３回掛けるので３乗の比になります）
とすると、四角形ＡＢＣＤの面積は８＊８＝６４
の四角形ＰＱＲＳは４分の１なので１６となります。

次ですが、ＯＨの長さを求めます。
それには、直角三角形ＯＡＨで三平方の定理を使います。
図を書けばわかりますが、ＨＡの長さがわからないと使えません。そのためには、色々な方法がありますが、ここでは、直角三角形ＡＢＣからＡＢの半分であるＨＡを求めてみましょう。これは三平方の定理から
ＡＢ＝√８＾２＋８＾２＝√１２８＝８√２
よって、半分の４√２になります。
あとは、大丈夫そうなので・・・。

お礼

ポイントを絞って教えてくれて
ありがとうございます。
見やすく、わかりやすく書いてあり
とても助かりました。
OHの長さを求めるのは
他の人の解答を見た限り、色んな方法があるみたいですが
三平方の定理から求めるやり方が一番
わかりやすいので
この方法で解く方法を、もっとマスターしようと
思っています。
図形が苦手なので、また、質問するかもしれませんが
その時は、よろしくお願いします。
助けてくださって
本当にありがとうございました（笑）

回答No.3

ACSmasa

こちらから先に補足させてください。
（１）の中点連結定理ですが、２等分に限ったことではなく、より一般化すると、
△ABCにおいて、AB,ACをそれぞれm:nに分ける点をP,Qとすると、

PQ=BC*(m/(m+n))となります。

例えば、AB,ACを1:2に分けたとすると、
PQ=BC*(1/(1+2))=BC*1/3

となります。

（２）の回答の続きですが、

さきほど求めたAH=4ルート2を用いて、△OAHに三平方の定理を適用すると、

OA^2=AH^2+OH^2

となります。
したがって求めるOHは
OH=ルート(OA^2-AH^2)
=ルート(9^2-(4ルート2)^2)
=ルート(81-32)
=ルート(49)
=7
となります。

では。。(^^)/~~~

お礼

補足説明してくださり
ありがとうございます。
親切に教えていただいたおかげで
理解することができました。
また、質問するかもしれませんが
その時は、どうぞ
よろしくお願いします（笑）

回答No.2

kanakanakana

最初のなぜ２分の１が分かったかということですが、
PQRSはOA、OB,OC,ODの中点なので
三角形OABと三角形OPQは相似ですよね。
で、条件でOPは線OAの半分なので、底辺のPQは線ABの半分です。

正方形の面積は、辺の長さが２倍だと、面積は４倍になるのでその逆をしたんです。
でも、回答にとらわれず、PQの長さが分かったので、そのまま計算すればいいと思います

AH=４ルート２というのは、底辺の四角形に対角線を一ついれて、２つの４角形ができますよね、
その４角形は直角２等辺三角形で９０度４５度４５度の三角形なので
１：１：ルート２になり、
対角線ABの長さは８：X＝１：ルート２　の計算から　８ルート２になり、
AHはその半分なので２で割ります。

底辺の四角形を対角線２本引いたら、２で割らなくても１発ででますよ

受験がんばって！！

お礼

底辺の四角形を対角線２本で引いたら
２で割らなくても１発で出るんですね。
さっそく、やってみます！！
数学には、色んな方法があって
面白いと思うんですが、図形が苦手で
毎日、図形を重点的に勉強していますが
ちょっと、うんざりしています（涙）
気分転換をはかりながら
受験日まで、頑張ろうと思っています。
ほかの方とは、ちがう方法を教えてくださり
本当に、ありがとうございました（笑）
図形がかなり苦手なので
また、質問するかもしれませんが
その時は、よろしくお願いします。

回答No.1

ACSmasa

（１）ですが、
P,Q,R,Sはそれぞれ中点ですよね。中点連結定理というのを知っていましたか？

例えば△ABCがあって、AB,ACの中点を結ぶ線分はBCの線分の２分の１かつ、BCと平行になるというものです。

したがって、四角形PQRSの各辺は四角形ABCDの各辺のそれぞれ半分になっていますよね。だから、

四角形ABCDの面積の2分の1の2乗＝「4分の1」

と固く考えなくても、各辺が半分になったのだから４×４＝１６と考える方が簡単かもしれませんね。相似形の場合、線分が半分になったら、面積はその２乗、つまり４分の１になります。

（２）ですが、
三平方の定理とは、
「直角を挟む２辺の長さの２乗の和はもう１辺の２乗に等しい」
というものです。
ます、Hから辺ABへ垂線をおろした交点をFとします。
△AFHに三平方の定理を当てはめると、

AH^2=AF^2+FH^2

となります。（^は乗の意味）
ここで、AF=4,FH=4を代入して計算すると。(FHが4になるのは分かりますよね）

AH=ルート（AF^2+FH^2）ですよね。
AH=ルート(4^2+4^2)　
=ルート（16+16)
=4ルート2
になります。

分かりましたでしょうか？？追加質問あれば遠慮なく/(^^)

お礼

（１）・・・中点連結定理を利用していけば
解ける問題ですね。気がつきませんでした（苦）
中学２年生の参考書で、中点連結定理を勉強したのに
まだまだ理解していなかったみたいです。
さっそく、もう１度、かるく復習をして
この問題を解いてみたいと思っています。

（２）・・・とてもわかりやすく書いてくださり
ありがたいです。
Hから垂線をおろせば、三平方の定理が使えますね。
これで、ようやく理解できました。

親切に教えてくださり
とてもうれしかったです。
図形が苦手で、試験日まで、図形に重点をおいて勉強していきますが
わからないところがあったら
こちらに質問するしか解決法がないので
その時は、またよろしくお願いします。
それでは、本当に助けていただいて
ありがとうございました（笑）