2通りの素因数分解

質問

素因数分解は一意に決まると学びましたが、大学時代にある数は2通りの素因数分解が出来ると聞いたような気がします。
私の記憶違いなのでしょうか？そんな数はあるのでしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

UFD=Unique factorization domain(一意分解整域,素元分解整域)と呼ばれる代数系においては、素因数分解は一意的です。整数環Zはユークリッド整域と呼ばれる環であるので、したがってPID（単項イデアル整域）であり、したがってまたUFDになるのです。ユークリッド整域のチェックは易しいので、この方法で素因数分解の一意性を示すのがひとつのテクニックです。

もちろんUFDではない環の元は、素因数分解は一意的にはできません。すなわち二通りの分解を持つ元が存在します。数というのを、たとえば整数Zの元だとか、そういう風に思うならば、ZはUFDだから素因数分解の一意性が破れる数は存在しない、ということになります。しかし、より拡張して、代数体の整数環の元という立場に立つならば、それが成り立たない例はいくらでも作れます。たとえばQ(√-5)の整数環を考えてみてください。Q(√-5)とは簡単に言うと、a+b√-5とかけるような複素数の集まりです。ただしa,bは有理数とします。この整数環と呼ばれる環の元6を考えます。これは2・3=(1+√-5)(1-√-5)と二通りの分解が可能です。そして、2,3,1+√-5,1-√-5はいずれもQ(√-5)における素数になっています。すなわち±1と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」なのです。代数体における整数というのは、QにおけるZと同じような役割をする環だと思ってください。より詳しいことをお知りになりたければ、代数学の教科書なりなんなりを参照されたらと思います。

お礼

整数環Ｚにおいては一意だというのが分かり、すっきりしました。Ｑの整数環においては二通りの分解が可能だという点もよくわかりました。
大学時代の講義を思い出しました。ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

２次体の整数の場合は２通りの素因数分解になりますが、ｐ次の整数の場合には何通りもありそうです。一般的に代数的整数は一意分解整域ではありません。イデアル概念の必要性がこういうところにも出てくるんではないかと思います。有理整数のように一意分解整域は整数論全体の立場から眺めれば、特殊なものだという位置づけができるんではないかと思います。

お礼

有理整数のような一意分解のものの方が特殊なんですね。講義中に寝てしまったことが、いまさらながらに悔やまれます。ありがとうございました。