なんの公式でしょうか？

質問

こんばんは。数学ど素人の私がろくに調べずに質問を投げてしまい恐縮ですが、この場を借りさせていただきます。
情報処理資格の教本で、題材として以下の例題が取り上げられていました。とりあえずそのまま引用します。
**********************************************
二次方程式　ax二乗＋bx＋c＝0の解は、判別式　D＝b二乗-4acの値によって、以下の3通りになる。
1.D=0のとき
　実数解を持ち、その値は　x＝-b/2a
2.D>0のとき
　実数解を二つもち、その値は　x=-b±√D/2a
3.D<0のとき
　虚数解を二つもち、その値は　x=-b±√Di/2a

出典「アルゴリズムの切り札」高田美樹著　技術評論社刊　-p24

冒頭で提示された条件と、1,2,3の法則は何かの公式なのか、
それとも、筆者が算出したものなのか気になってしまいした。
たしかに、abcに任意の数を代入したら示された法則が成り立つのです。
この参考書はあくまで資格試験対策なので、こういう枝葉のところに疑問を持つのは邪道なのでしょうが、、
ちなみにこの設問は、この公式を前提とした「アルゴリズムを考えてください」というものでした（分岐条件を選択するだけの平易なもの）め）。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

1,2,3と判別式をまとめて
2次方程式の根の公式
というかと思います。
高校の数学の教科書や問題集なら何処にでも載っている公式で導出法も載っているかと思います。

＞2.D>0のとき
＞　実数解を二つもち、その値は　x=-b±√D/2a

ここの掲示板では紛らわしいので

x=(-b±√D)/2a

と書きましょう。

＞3.D<0のとき
＞　虚数解を二つもち、その値は　x=-b±√Di/2a

この表現は正しくないですね。
根号の中のDは(-D)とすべきですね。

x={-b±i√(-D)}/2a

お礼

回答ありがとうございます。
二次方程式でしたか、、もう20年前の授業で聞いた記憶がうっすらと出てきました。

回答No.5

chiropy

二次方程式をax^2+bx+c=0とする。平方完成すると
⇔a{x^2+(b/a)x}+c=0
⇔a{x+(b/2a)}^2-b^2/a+c=0
⇔a{x+(b/2a)}^2=b^2/a-c
⇔{x+(b/2a)}^2=b^2/a^2-c/a
⇔{x+(b/2a)}^2=(b^2-ac)/a^2
⇔x+b/2a=±√(b^2-ac)/a
⇔x=-b/2a±√(b^2-ac)/a
⇔x=-b/2a±2√(b^2-ac)/2a
⇔x={-b±√(4b^2-4ac)}/2a
と解の公式を導きます。
判別式とは解の公式の√(4b^2-4ac)の中のことです。
ここから分かるように
√内が０（判別式D＝０）
　解は　-b/2a　のみ
√内が正（判別式D＞０）
　解は　-b±√D/2a
√内が負（判別式D＜０）
　解は　-b±√Di/2a
となるのがわかります。

質問の回答になってなかったらすいません。僕は高２なので「公式を前提としたアルゴリズム」ってところが分からなかったのですが。。。見当違いでも許してください。

お礼

回答ありがとうございます。
展開は試みましたが、久しぶりなので頭の酷使になりました！！
ここで言うアルゴリズムは、処理の手順です。代入した数で計算した結果、
公式にあてはめた解が正、か負か、ゼロかによって後続する処理を分岐する流れ図を作成するという例題があったのです。

回答No.4

tatsumi01

No. 1 ですが誤解されそうなので補足します。
解の公式は古くから知られていましたが、虚数が導入されたのは１７世紀頃です。それまでは 1. と 2. だけが解かれていました。

お礼

回答ありがとうございます。
虚数は「哲学的知見」のような気がします。
探求すると面白そうです。

回答No.3

Berserkr

判別式とは解の個数(形)を判断するときに使います。
今回は二次方程式ですね。
解の公式に　ｂ^2－４ａｃ という部分がありますが、これはときにはマイナスになるときもあります。
（例　ｘ2＋２ｘ＋２＝０ のとき、ｂ2－４ａｃ＝－４）このようなときは、中学の範囲では「解がない（正確には実数の範囲で解がない）」となります。（高校以上では、「異なる２つの虚数解」）ａ＜０である場合にあたります。x軸と交わらない場合です。
また、ｂ2－４ａｃ が ０ になるときもあります。（例　ｘ2＋２ｘ＋１＝０）x軸で一点で交わる場合。このようなときは、重解になります。
このように、ｂ2－４ａｃ が正、０、負 によって解の形が変わります。
この ｂ2－４ａｃ を判別式といい、判別式が
　　正のとき・・・解は２つ（実数の解が２つ）x軸上
　　０のとき・・・解は１つ（重解）x軸上
　　負のとき・・・解なし（実数の解はなし）x軸と交わらない
となります。解の数を判別するというわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
整理してくださったので頭がすっきりしました。

回答No.2

tatsumi01

高等学校で習う２次方程式の解の公式です。
厳密に言うと違いますが「x=-b±√D/2a」が公式で、紀元３世紀頃から知られていたと思います（記憶あやふや）。
問題は D の平方根を求めるときで、D がマイナスだと普通は平方根がありません。そこで、虚数 (i) を導入してどんな場合でも解が求められるようにしただけでうｓ。

補足

回答ありがとうございます。また歴史的コメント勉強になります。
虚数は考えて悩んだ記憶があります。ないものをあると仮定して、、とは私は当時理解できなかったと記憶しています。